Wirtschaftswachstum (Theorie)

•  in festen, gleichmäßigen Schritten

y=y0*(1+g)^t

g=(y2-y1)/y1

• stetig und ohne Unterbrechung

y=y0*e^(gt)

g=ln(y2)-ln(y1)

Produktionsfunktion 𝑌 = 𝐹(𝐾, 𝐿)

Annahme 1:

• Die Produktionsfunktion weist konstante Skalenerträge (CRS) auf
• Verdopplung Input -> verdopplung Output

Annahme 2:

• Die Produktionsfunktion erfüllt die Inada-Bedingungen
• Daraus folgt, dass jeder eingesetzte Faktor essenziell ist

𝑌 = 𝐾^𝛼*𝐿 ^(1−𝛼)

Kapital 𝐾, und Anzahl der Arbeitnehmer L

𝑀𝑃 𝐾 = 𝜕𝐹(𝐾, 𝐿) /𝜕𝐾 = 𝛼𝐾^(𝛼−1)𝐿^( 1−𝛼) = 𝛼 𝑌/𝐾 = r

• r= Nutzungspreis

𝑀𝑃 𝐿 = 𝜕𝐹(𝐾, 𝐿) /𝜕𝐿 = (1 − 𝛼)𝐾^𝛼𝐿 −𝛼 = (1 − 𝛼)𝑌/L = w

• w= Arbeitslohn

Beschreibt wie empfindlich eine Größe (Y) auf eine Veränderung reagiert

%- Reaktion der AV (Y) auf eine 1% Änderung der UV (K,L)

Cobb-Douglas:

• E von K= 𝛼
• E von L= β

E=1 - Proportrional

E>1 - Überproportional

E<1 - Unterproportional

Beschreibt wie viel vom Gesamten Einkommen (Output) einer Volkswirtschaft an einen Produktionsfaktor (K,L) gehen

Vollständiger Wettbewerb - Entlohnung nach Grenzprodukt

• 𝛼 + β= 1
• Entlohnung K= 𝑀𝑃 𝐾 × 𝐾/𝑌 = 𝛼
• Entlohnung L = 𝑀𝑃 L × L/𝑌 = β = (1 − 𝛼)

Die Entlohnung beider Faktoren entspricht der Gesamtproduktion

• 𝑤𝐿 + 𝑟𝐾 = 𝑌

Gewinn der Unternehmen: Π = 𝑌 − 𝑟𝐾 − 𝑤𝐿 = 0.

• bei vollkommenem Wettbewerb (er Gewinn der Unternehmen gleich null .

𝑦 = 𝑓(𝑘) mit 𝑦 = 𝑌 /L und 𝑘 = 𝐾/L

y= (K/L)^𝛼=k^𝛼

• Produktionsfunktion pro Kopf 𝑦 = 𝑓(𝑘) ist konkav
• abnehmende Grenzerträge des Kapitals
• Erste Ableitung: 𝜕𝑓(𝑘)/𝜕𝑘 = 𝛼𝑘^(𝛼−1) > 0
• Zweite Ableitung 𝜕 2 𝑓(𝑘)/ 𝜕𝑘2 = (𝛼 − 1)𝛼𝑘^(𝛼−2) < 0

𝐾: = 𝐼 − 𝐷 = 𝑠𝑌 − 𝛿K

• Investitionen, 𝐼, und Abschreibungen, 𝐷
• Die Volkswirtschaft ist geschlossen: 𝑆 = 𝐼 = 𝑠𝑌 und 𝑤𝐿 + 𝑟𝐾 = Y
•  s= sparen einen konstanten Anteil s ihres Einkommens
• 𝛿𝐾= Abschreibungen. Ein fester Anteil 𝛿 des Kapitalstocks 𝐾 verschleißt zu jedem Zeitpunkt

ein stationäres Gleichgewicht bei k*

• Wenn Investitionen=Abschreibungen
• Im Steady State hat der Pro-Kopf-Output eine Wachstumsrate von 0

Vollkommener WB:

• Keine Marktmacht
• homogene Güter
• Freier Markteintritt
• vollständige Infos
• Faktoren werden zu Grenzprodukten entlohnt

Gewinne=Output-Kosten

• Solange positive Gewinne werden U. sich im Preis unterbieten, bis Gewinn=0
• Attraktive Gewinne: Mehr Anbieter - Preis sinkt
• WB Steigt: erlös sinkt

Geben an, wie sich der Output verändert, wenn alle Produktionsfaktoren (K,L) im gleichen Verhältnis erhöht werden.

• Konstante Skalenerträge: Verdopplung Input - Verdopplung Output; 𝛼 + β = 1
• Steigende Skalenerträge: Verdopplung Input - mehr als Verdopplung Output; 𝛼 + β > 1
• Steigende Skalenerträge: Verdopplung Input - weniger als Verdopplung Output; 𝛼 + β < 1
• 
  

Konvergenz bedeutet höheres Wachstum, je weiter die Wirtschaft vom Steady State entfernt ist. 

Drei Implikationen:

• Zwei Länder mit gleicher Sparquote aber anderen Einkommensniveaus: Das ärmere Land wächst schneller.
• Zwei Länder mit gleichen Einkommensniveaus aber anderen Sparquote: Das Land mit der größeren Sparquote wächst schneller. Es ist weiter weg von seinem Gleichgewicht.
• Jedes Land, was seine Sparquote erhöht, sollte vorübergehend schneller wachsen.

1. Pro-Kopf-Konsumniveau: c=(1-s)y
2. GG Bedingung k=0
3. Optimieren - Ableitung c=0
4. GG Bedingung und Opti Bedingung nach Abschreibung auflösen uns gleichsetzen
5. Ergebnis: s=𝛼

• Schlechte Infrastruktur
• Schlechte Qualität der Institutionen (z.B. korrupte Regierung, begrenzte rechtliche Durchsetzbarkeit)
• Unzureichendes Bildungs- und Gesundheitssystem
• Schlechter Ernährungszustand
• Begrenzter Zugang zu Krediten und Finanzmärkten
• Kein Zugang zu Technologien mit hoher Produktivität
• Geografische Isolation

• Verfahrensfortschritt kann kapitalsparend, arbeitssparend oder neutral sein
• Nur bei arbeitsvermehrendem technischen Fortschritt existiert ein gleichgewichtiger Wachstumspfad
• Bei Cobb-Douglas Funktionen macht es keinen Unterschied welche Art von Neutralität angenommen wird. Alle drei sind äquivalent. 

bei gegebener Kapitalintensität bleibt die Einkommensverteilung gleich. Das setzt folgende Produktionsfunktion voraus 𝐹(𝐴, 𝐾, 𝐿) = 𝐴(𝑡)𝐹(𝐾, 𝐿) mit 𝐴(𝑡) als arbeits- und kapitalsparendem Fortschritt zugleich.

bei gegebenem Kapitalkoeffizienten bleibt die Einkommensverteilung gleich. Das setzt folgende Produktionsfunktion voraus 𝐹(𝐴, 𝐾, 𝐿) = 𝐹(𝐾, 𝐴(𝑡)𝐿) mit 𝐴(𝑡) als arbeitsvermehrendem technischen Fortschritt.

bei gegebenem Arbeitskoeffizienten bleibt die Einkommensverteilung gleich. Das setzt folgende Produktionsfunktion voraus 𝐹(𝐴, 𝐾, 𝐿) = 𝐹(𝐴(𝑡)𝐾, 𝐿) mit 𝐴(𝑡) als kapitalvermehrendem technischen Fortschritt.

Eine Effizienzeinheit ist eine Maßeinheit für Arbeit, die quantitative Arbeit mit technischem Fortschritt kombiniert. Also eine EE ist eine an den technischen Fortschritt angepasste Arbeitseinheit

• Also y=Y/ (AL)
• Das heißt k=K/(AL)

y (tilde)= Y/(AL)

Geg: y=Y/L; y (tilde)

Umformen zu: A= y/ y (tilde)

Falsch

• Bevölkerung L wächst dauerhaft mit Rate g
• Pro Kopf y einkommen bleibt konstant

Falsch

Korrelation ist nicht gleich Kausalität

Wahr

Im GG ist Wachstumsrate=g (technischer Fortschritt)

Humankapital ist eine exogene Größe, kein Zusammenhang zu techn. Fortschritt in diesem Modell

Falsch

u (Schuljahre) ist eine exogene Variable und hängt nicht von anderen Funktionen ab

• Humankapital als Gesundheit
• Humankapital als Bildung

Großer Unterschied zum Sachkapital: Humankapital ist an Arbeit gebunden. Gesundheit wird nicht weiter betrachtet.

= Bildungsparameter

• Drückt aus, um wie viel Humankapital (H) steigt, wenn u (Anzahlt Schuljahre) um eine Einheit steigt -> Return to Education
• 𝜓=0,1: 1 weiteres Schuljahr erhöht H und den damit verbundenen Lohn um 10%

g von y = g von k = g von A

• Sie sind nicht-rivalisierend: Nutzen wird nicht geringer, wenn die Anzahl der Nutzer steigt
• sie sind generell nicht ausschließbar: man kann schwer andere darin hindern, die Idee auch zu nutzen

Bei der Produktion neuer Ideen...

• sind die Grenzkosten sehr gering.
• sind die Fixkosten sehr hoch
• Die Kombination beider Fakten ergibt steigende Skalenerträge
• liegen die Durchschnittkosten immer über den Grenzkosten.

• linear
• höher in Ländern mit einem höheren Bevölkerungswachstum

größere Bevölkerung sich positiv auf die Entwicklung neuer Ideen aus.

• In einer großen Bevölkerung gibt es mehr potentielle Erfinder, Denker und Forscher.
• Da Ideen nicht-rivalisierend sind, impliziert eine größere Bevölkerung nicht die Nutzung weniger Ideen für jeden. Alle können die Ideen gleichzeitig nutzen, anders als Kapital!
• Eine größere Bevölkerung bedeutet einen größeren Absatzmarkt und höhere Gewinne für Firmen, die folglich mehr in Forschung und Entwicklung investieren können. 

 θ ist ein exogen gegebener Parameter für die Forschungsproduktivität. Er drückt aus, wie schwer es unabhängig vom Wissenstand und der Anzahl der Forschenden (also unabhängig von den sozialen Parametern) ist gute/neue Ideen zu haben

λ bestimmt wie stark die Forschungsproduktivität von der Anzahl der Forscher abhängt (mit 0 < λ < 1):

ϕ misst wie stark Innovation auf bestehendem Wissen aufbaut (mit ϕ < 1):

Die langfristige Wachstumsrate des Wissensstands hängt  vom Bevölkerungswachstum n ab.

Wenn 𝜙 < 1, dann hat 𝑠𝑅 keinen Effekt auf die langfristige Wachstumsrate von 𝐴, lediglich das Niveau von 𝐴 steigt permanent.

Wenn ϕ = 1, dann gibt es kein gleichgewichtigen Wachstumspfad (Gleichung oben hat keine Lösung). Wir können trotzdem die Wachstumsrate des Wissensstands berechnen

• 𝐿𝐴 = 𝑠𝑅L

Wenn 𝜙 < 1, dann hat 𝑠𝑅 keinen Effekt auf die langfristige Wachstumsrate von 𝐴, lediglich das Niveau von 𝐴 steigt permanent.

Der Graph beschreibt wie ein Produktivitätsschock temporär die Wachstumsrate von A erhöht. Ein höheres Wachstum in A erhöht allerdings auch den Nenner der x-Variable, sodass die Wachstumsrate langfristig fällt und sich asymptotisch wieder gA annähert. Wir erinnern uns, dass g = gA und unabhängig von θ ist. g ist ein vielfaches der Bevölkerungswachstumsrate n. Damit der Bruch stabil bleibt müssen die Wachstumsraten von A und LA auch ein multiples der Bevölkerungswachstumsrate sein.

Auf Achsenbeschriftung achten!

PK Einkommen im GG: y*(t)

Die Ableitung dieser Gleichung nach θ is größer Null. Das Pro-Kopf-Einkommen steigt eindeutig, wenn θ steigt. Dadurch steigt auch die Wachstumsrate kurzfristig über y˙/y = gA. Langfristig konvergiert die Wachstumsrate aber wieder gegen das langfristige Gleichgewicht gA.

Wenn wir unser Modell vereinfachen, können wir dies intuitiver darstellen. Dazu setzen wir 𝜆 = 1 und 𝜙 = 0. Dann ist:

• Wachstum 𝐴 ̇ = 𝜃𝐿𝐴
• 𝐴̇ ̇ /𝐴 = n = gA

a) langfristig durch das Bevölkerungswachstum bestimmt.

b) in Ländern mit einem größerem Anteil von Forschenden kurzfristig schneller sein.

d) Das Modell nimmt an, dass der technologische Fortschritt exogen und nicht von den Wirtschaftsakteuren abhängig ist.

• Der Anteil der hochqualifizierten Arbeit 𝑠𝑅 hat keinen einheitlichen Effekt. Es kann zu viel und zu wenig geforscht werden, so dass 𝑦(𝑡)∗ ggf. fällt.
• Die Bevölkerungsgröße hat keinen einheitlichen Effekt. Es gibt Skaleneffekte. Wenn 𝐿(𝑡) steigt, gibt es mehr Menschen = mehr Ideen= größeren Output.
• Schnelleres Bevölkerungswachstum führt, ceteris paribus, zu einer kleineren Kapitalintensität im Gleichgewicht. Anderseits ist 𝑔 ∝ 𝑛, sodass die weltweite Wachstumsrate steigt.

Falsch

Wahr

Falsch

KI ersetzt auch qualifizierte Arbeit, aber weniger als 1:1.

Roboter ersetzen weniger qualifizierte Arbeit, eher im Verhältnis 1:1.

Weniger qualifizierte Arbeit kann qualifizierte Arbeit nur begrenzt ersetzen.

KI reduziert den Lohnaufschlag aber nur, wenn KI qualifizierte Arbeit stärker substituiert als weniger qualifizierte Arbeit dies kann.

Falsch

Das Skillpremium wächst bei Anstieg der Automatisierung (R). Zudem wächst die Ungleichheit

D.h. ein Anstieg des Anteils der qualifizierten Arbeit senkt das Skillpremium. Dieser Effekt ist umso größer, je . . .

• kleiner ss ist,

• je größer R/L ist (viele Roboter relativ zur Arbeit).

• Wachstum g hängt positiv mit ∝ zusammen
• Aufstieg von KI durch ausgeführte Aufgaben wirkt positiv auf Wachstumsrate der Ideen

α → (1 − ϕ): Wenn α sich (1 − ϕ) annähert wird der Nenner sehr, sehr klein. Damit explodiert die Wachstumsrate der Ideenproduktion. 

• ersetzen Arbeit.
• Je nachdem, wie dies geschieht und welche Arbeit betroffen ist, hat dies Auswirkungen auf die Einkommensverteilung.
• Stagnierende Löhne für unqualifizierte Arbeit und steigende Lohnprämien für qualifizierte Arbeit sind direkte Folgen der Automatisierung.
• Automatisierung und KI können das Wachstum steigern, gegebenenfalls das sinkende Grenzprodukt des Kapitals kompensieren und theoretisch sogar unbegrenztes Wachstum auslösen.
• Nichts davon wird in naher Zukunft eintreten. 

• Die Einkommensanteile sind nicht mehr konstant (aber 𝑅(𝑡) ≈ 0 bis 𝑡 ≈ 1980).
• Der Lohn steigt also mit 𝐾 (wie immer) und fällt mit 𝑅 (neu).
• 𝑅-Kapital bekommt den Einkommenanteil der automatisierten Arbeit.