Flashcards in the set

Haven't started (9)

(1) Was wird bei Givens angewandt?

 

(2) Was wird bei Householder angewandt?

(1) Givens-Rotation (reine Drehung)

 

(2) Householder-Spiegelung (Spiegelung)

Eigenschaften einer s.p.d. Matrix A? (1-6)

(1) A ist invertierbar

(2) A hat strikt positive Eigenwerte

(3) det(A) ist positiv

(4) A hat strikt positive Diagonaleinträge

(5) Jede Matrix A besitzt eine Cholesky-Zerlegung

(6) Jede Matrix A mit Cholesky-Zerlegung ist s.p.d.

Vorgehen bei einer LR-Zerlegung mit Zeilenskalierung?

(1) Zeilen skalieren

(2) Pivotisieren und Gaußen

(3) PA = LR ist erzeugt ⇒ Ax=b ⇔ (LR)x=Pb ⇔ Ly=b ⇔ Rx=y

(4) Löse Ly=b per Vorwärtseinsetzen

(5)Löse Rx=y per Rückwärtseinsetzen

Was bewirkt eine Pivotisierung, wie funktioniert diese und wann ist Gauß stabil?

  1. Verbessert die Stabilität 
  2. Vertauschen der Zeilen, so dass das betragsmäßig größte (Pivot-)Element an erster Stelle steht
  3. LGS ohne Pivot: nicht immer stabil
    LGS mit Pivot: stets stabil

Welche Rechenoperationen sind gut konditioniert, welche schlecht?

  • Gut konditioniert: + / +, · / ÷
  • Schlecht konditioniert: + / -

Welche 4 Aussagen sind äquivalent zu Ax=b mit A ∈ R (n "kreuz" n)?

 

  1. Das System hat für jedes b ∈  R ("hoch" n) eine eindeutige Lösung x ∈  R ("hoch" n)
  2. Die Matrix A hat vollen Rang n
  3. Das homogene System Ax=0 hat nur die triviale Lösung x=0
  4. Es gilt det(A) ≠ 0

Wie kann die Kondition einer Matrix verbessert werden? (Vorgehen erklären)

  • Ax=b ⇒ DAx=Db
  • mit D = diag(d1, ..., dn) mit Zeilensumme im Betrag von DA = 1
  • d1 = 1 / Betragssumme 1
    dn = 1 / Betragssumme n

Wie hoch ist der Rechenaufwand von:

  1. Skalarprodukt x(transformiert)*y?
  2. Dyadisches Produkt x*y(transformiert)?
  3. Matrix - Vektor Produkt A*x?
  4. Matrix - Matrix Produkt A*B?
  1. 2*n - 1
  2. n*n
  3. 2*(n*n) - n
  4. 2*(n*n*n) - (n*n)
  1. Was ist die 1-Norm?
  2. Was ist die ∞-Norm?
  3. Was ist die 2-Norm?
  1. Maximale Spaltensumme
  2. Maximale Zeilensumme
  3. Spektralnorm (Wurzel aus (größter Eigenwert von A(transponiert)*A))