Dynamik technischer Systeme: Nichtlineare Systeme

• können gut durch lineare Näherung beschrieben werden
• zeigen keine neuen Phänomene
• einfache, zustandsabhängige Änderung der Parameter

• deutliche Abweichung vom linearen Verhalten
• zeigen keine neuen Phänomene

• zeigen neue Phänomene
• grundsätzlich unterschiedliches qualitatives Verhalten

Punkte im Parameterraum, an denen sich durch kleine Parameteränderung das Verhalten des Systems qualitativ ändert, nennt man Birfurkationspunkte

• Zahlenraum, der von den Zustandsgrößen des Systems aufgespannt wird
• Jeder Punkt im Phasenraum entspricht einem Zustand des Systems.
• Der Phasenraum wird auch als Zustandsraum bezeichnet.

• Eine Trajektorie ist eine gerichtete Kurve, die durch die Verbindung der Punkte im Phasenraum entsteht, die ein System aufgrund seiner Dynamik von einem Anfangspunkt aus durchläuft.
• Trägt man die Trajektorien für mehrere Anfangspunkt auf, erhält man eine Trajektorienschar. -
• Das Muster der Trajektorienschar charakterisiert das Systemverhalten. - Trajektorien zeitinvarianter Systeme schneiden sich nie.

Definition: Untermenge eines Phasenraums (d.h. ein gewisser Bereich der Zustände), auf die sich die Zustände eines dynamischen Systems im Laufe der Zeit zubewegen und nicht mehr verlassen

Trennt die Einzugsbereiche von Attrakoren 

Nein, ein Attraktor kann auch, wie im Falle eines Zweipunktreglers, eine stabile Dauerschwingung ausführen, welche den Attraktor für das System darstellt. --> Grezzyklus 

Von einem seltsamen Attraktor spricht man, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

▪ Es handelt sich um einen Attraktor in einem dynamischen System mit einem bestimmten Einzugsbereich.

▪ Chaotisches Verhalten: Beliebig kleine Änderungen des Anfangszustandes führen zu völlig unterschiedlichen Trajektorien.

▪ Fraktale Struktur: Der Attraktor besitzt eine nicht-ganzzahlige Dimension.

▪ Keine Aufteilungsmöglichkeit: Jede Trajektorie, die im Einzugsbereich startet, nähert sich beliebig stark an jeden Punkt des Attraktors an.

Die Intervalle mit gleicher Anzahl von Häufungspunkten (Bifurkationsintervalle) werden immer kleiner. Das Längenverhältnis zweier aufeinanderfolgender Bifurkationsintervalle nähert sich der Feigenbaumkonstante δ ≈ 4,67

• Seltsame Attraktoren
• Grenzzyklen