DiDaMa arbeiten mit Größen und Stochastik

• durch Sachkontexte zeigen, dass kleinere und größere Einheiten gebraucht werden
• in allen Größenbereichen
• anhand der Vorsilben erkennen, wie umgerechnet werden muss (kilo 10³=x1000, dezi 10 hoch minus 1 = :10, centi10 hoch -2 = :100, milli 10 hoch -3 = :1000
• von Ausgangseinheit x Zehnerpotenz = verfeinern
• von Ausgangseinheit : Zehnerpotenz = vergröbern

• Mess- und Einheitenvorstellungen
• Stellenwertsystemverständnis
• Wissen über dezimale Tabelle

• vergröbern: größere Einheit und kleinere Zahl
• verfeinern: kleinere Einheit und größere Zahl

• Dezimalschreibweise
• Bruchschreibweise
• gemischte Schreibweise
• in kleinerer Einheit geschrieben

• trennen von Einheiten
• von links und rechts vom Komma sprechen
• außer beim Geld Ziffern rechts vom Komma einzeln nennen
• nicht besetzte Stellen mit Nullen auffüllen
• Stellenwerttafel nutzen - Wechsel von Einheiten mit dickem Strich deutlich machen und mit Nullen auffüllen

= Maß für die Erwartung, dass ein Ergebnis eintritt

• Riemerquader - notieren, wie oft auf welcher Seite gelandet - diskutieren - Formen ändern
• Aunkreuzen ob "als nächstes wird eine 5 gewürfelt" Zufall ist oder nicht - diskutieren - deutlich machen dass es keine einheitliche Lösung gibt - Wahrscheinlichkeitsrechnung als Möglichkeit für eine Lösung anbieten und einführen

• unistrukturales Denken (nur ein Aspekt des Problem wird betrachtet)
• multistrukturales Denken (mehrere Aspekte werden betrachtet aber die Zusammenhänge sind noch nicht verknüpft)
• relationales Denken (das Problem wird mit Zusammenhängen gesehen)

• Wahrscheinlichkeit mit Wörtern beschreiben
• vor der Bruchrechnung anwenden
• nicht wahrscheinlich bis wahrscheinlich

• nach der Bruchrechnung
• Wahrscheinlichkeit wird mit Zahlen und Prozenten beschrieben
• Wahrscheinlichkeit wird berechnet

• Anzahl der günstigen Ereignisse durch Anzahl der möglichen Ereignisse
• 


• relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit bilden sich hier durch viele Wiederholungen des Zufallsexperiments
• relative Häufigkeit = Anzahl des auftretendenden zu beobachtenden Ereignisses / Anzahl der Gesamtversuche

• Wahrscheinlichkeit auf basis persönlicher Überzeugungen und Erfahrungen
• Wahrscheinlichkeit ist hierbei von Person zu Person unterschiedlich

bei vielen Wiederholungen eines Zufallsexperiments nähert sich der Durchschnitt der Werte immer weiter dem zuerwarteten Wert an

• Urliste
• Datentabelle
• Häufigkeitstabelle
• Strichliste
• Datenkarte

• Liniendiagramm
• Boxplot
• Streudiagramm
• Kreisdiagramm
• Streifendiagramm (senkrecht=Säulen, waagerecht=Balken)
• Histogramm
• Stabdiagramm/Streckendiagramm

messbare Eigenschaft eines Objektes usw

Größenvorstellungen entwickeln und mit Größen umgehen

• konkretes Beispiel, welches eine Größe verdeutlicht
• Vertreter, bei dem eine Größe vorkommt

• auch bei Änderung der räumlichen Anordnung und Lage verändert sich die Größe nicht

• Gleichheit in einem Größenbereich
• besteht aus Repräsentanten einer Größe, die gleich/äquivalent sind
• genauso schwer wie

• Unterschiede in einem Größenbereich
• besteht auf Repräsentanten einer Größe, die unterschiedlich sind und geordnet werden können
• leichter als

• Einheiten kennen
• Messgeräte kennen und nutzen
• Messergebnisse richtig notieren
• richtige Größenangaben mit Maßzahl und Einheit

Größen und messen

• Größenvorstellungen haben (Standardeinheiten in Größenbereichen kennen und in Beziehung zueinander setzen)
• Messgeräte und Messergebnisse richtig anwenden (passende Messgeräte nutzen und Messergebnisse richtig notieren)
• mit Größen in Kontexten umgehen (in Sachaufgaben lösen)

• geeignete Einheit auswählen
• Einheiten verfeinern/vergröbern, um passendes Ergebnis notieren zu können
• Einheiten mitzählen und miteinander verrechnen können
• bei Null mit messen beginnen

• beide greifen die zu behandelten Größenbereiche auf
• Bildungsstandards erwähnen zusätzlich Flächeninhalt aber ohne standardisierte Maßeinheiten

1. Vorerfahrungen sammeln
2. direkter Vergleich von Repräsentanten einer Größe
3. indirekter willkürlicher Vergleich von Repräsentanten einer Größe
4. indirekter standardisierter Vergleich von Repräsentanten einer Größe
5. Stützpunktvorstellungen entwickeln
6. Einheiten umwandeln
7. in Sachkontexten rechnen

• Kleinschrittigkeit widerspricht Lernen aus konstruktivistischer Sicht (aktiv statt passiv)
• individuelle Lernfortschritte der Schüler werden nicht beachtet

• Vorerfahrungen herausfinden und zum Ausgangspunkt für weiteren Unterricht machen
• in Spiel- und Sachsituationen erkunden
• Einheiten in der Sprache gebrauchen, Messgeräte kennen und anwenden, Erfahrungen im Alltag mit Größenbereichen

• Verständnis von Äquivalenz- und Ordnungsrelation (ob Repräsentatnten gleich oder unterschidlich sind und geordnet werden können)
• durch ordnen und sortieren vergleichen
• Transivität der Ordnungsrelation besprechen (a<b b<c a<c)

• Gegenstände nicht mehr direkt miteinander vergleichbar
• selbstgewähltes drittes Objekt zum vergleichen wählen
• Invarianz der Größe besprechen (Kinder haben bei Vergleichen unterschiedliche Ergebnisse aber trotzdem bleibt Gegenstand an sich gleich)
• besprechen, warum Messergebnisse unterschiedlich sind
• schlussfolgern, dass man etwas einheitliches braucht, um richtig messen und Dinge miteinander vergleichen zu können - Einführung von Einheiten und Messgeräten

• einsehen, dass durch ein einheitliches Vergliechsobjekt die Messergebnisse der Schüler gleich werden
• Einheiten einführen, um Ergebnisse angeben zu können

• Standardgrößen in den verschiedenen Größenbereichen erarbeiten
• mentale Bilder als Referenzgrößen
• werden auch zum schätzen genutzt
• Schüler sollten in jedem Größenbereich mehrere feste Vorstellungen zu den Größen haben

• Beziehungen zwischen den Einheiten kennen lernen
• deutlich machen, dass für manche Messergebnisse kleinere/größere Einheiten gebraucht werden, um Ergebnisse sinnvoll angeben zu können
• von konkreten Messvorgängen zum verfeinern und vergröbern übergehen
• verfeinern: zb Rest eines vollen Meters in kleinerer Einheit angeben
• vergröbern: zb etwas messen, was eine große Zahl ergibt und einfacherer in größerer Einheit anzugeben ist

• Sachverhalte aus Natur und Alltag näher erschließen
• Einsicht: nur Größen gleicher Art können rechnerisch verknüpft werden
• es geht nicht um formale Aufgaben

• erstellen einer ungefähren Größenangabe mit Hilfe von festen gespeicherten Größenvorstellungen
• messen und schätzen voneinander trennen
• in jedem Größenbereich schätzen lassen
• Schätzergebnisse auf Sinnhaftigkeit überprüfen
• Schüler brauchen zum schätzen feste Größenvorstellungen als Stützpunktwissen

• grundständige Schätzaufgaben (gegebenes Objekt wird mit gespeicherten Vergleichswerten verglichen und geschätzt)
• eingebettete Schätzaufgaben (neben dem Schätzen wird noch zusätzliches Wissen benötigt um die Aufgabe lösen zu können)

• direktes schätzen (ein Objekt wird einmal auf ein anderes projeziert und daraus geschätzt)
• indirektes schätzen (Stützpunktgröße wird mehrmals in zu schätzendes Objekt gelegt und dann addiert)
• teilweise schätzen und vervielfachen (zu schätzendes Objekt wird in gleiche Teile geteilt, ein teil wird geschätzt und dann mit der Anzahl der Teile multipliziert)

• sind isomorph (Relationsbeziehungen bleiben auch bei Vervielfachung bestehen)
• mit natürlicher Zahl multiplizieren und vervielfachen
• durch natürliche Zahl dividieren (verteilen)
• durch Größenteil dividieren (aufteilen)
• sind vergleichbar, sortierbar und wenn sie gleichwertig sind additiv/subtraktiv verknüpft werden

• Ebene der Repräsentanten von Größen
• Ebene der Betrachtung von Größen als Größenbereich (alle Elemente mit gleicher Äquivalenzklasse können addiert und verglichen werden)
• Ebene der Größen in Äquivalenzklassen (Beziehungen von Größen untereinander - reflexiv=zu sich selbst, symmetrisch=zwischen zwei Größen, transitiv=zwischen mehr als zwei Größen)
• Ebene der Benennung von Größen (Produkt aus Maßzahl, evtl weitere Zahl und Einheit)

Größenvorstellungen entwickeln

• Messgeräte richtig anwenden
• Messergebnisse richtig angeben
• Raum in Breite und Länge mit Schritten grob abmessen können
• mit Größen im Alltag umgehen können

• Strecken (Faden, Lineal, Streifen)
• 1/2: mm, cm, m
• 3/4: dm, km

• Körper (Tafel Schokolade, Packung Mehl)
• 1/2: -
• 3/4: g, kg, t

• Abläufe und Handlungen (Dauer eines Filmes, Ferien)
• 1/2: min, h, d, Woche, Monat, Jahr
• 3/4: sek

• Münzen und Scheine (1ct-Münze, 20€-Schein)
• 1/2: ct, €
• 3/4: -

• geometrische Formen (Rechteck, Dreieck)
• in der Grundschule nur messen

• Körper und Gefäße (Flasche, Eimer)
• 1/2: -
• 3/4: ml, l

• beschreibende Stochastik (Daten sammeln und darstellen)
• explorative Datenanalyse (in neuen Daten Muster erkennen)
• mathematische Stochastik (von kleinen Datenmengen auf große schlussfolgern)
• Wahrscheinlichkeitsrechnung (berechnen von Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen)

• Schüler sollen nicht nur Prozess anschauen, sondern auch Details (Bedingungen, Hindernisse usw)
• am Ende nicht nur Ereignisse berechnen sondern auch auf Bedingungen und Hindernisse usw achten können

1. Prozess bestimmen - Würfelwurf
2. interessierendes Merkmal wählen - Augenzahl 5 fällt
3. Ergebnisnotation und Messgeräte auswählen - Augen und Strichtabelle
4. Bedingungen und Einflussfaktoren - Tisch, Würfel - Wurfkraft, Unterlage
5. Wiederholungen der Prozesses bei gleichen Bedingungen betrachten

• Schüler sollen lernen, alltägliche Probleme vereinfacht in mathematische Modelle umzubauen, um sie lösen zu können

1. verstehen (Aufgabe lesen, infos sammeln, Problem bestimmen)
2. vereinfachen (wichtige Infos filtern, Daten sammeln, erste Idee des Modells)
3. matheamtisieren (relevante Größen und Beziehungen in mathematische Begriffe umwanden, Problem mathematisch formulieren)
4. mathematisch arbeiten (mit mathematischen Operationen das Problem lösen)
5. interpretieren (mathematisches ergebnis auf Alltagsproblem anwenden und umformulieren)
6. validieren (Ergbenisse richtig, ggf Modell anpassen)
7. darstellen (Ergebniss notieren und präsentieren)

• Flächen auslegen können
• aus gegebenem Flächeninhalt Fläche legen können
• bei Einheitsflächen Flächeninhalt bestimmen und vergleichen können
• Flächen durch zerlegen vergleichen können

Flächen vergleichen und ordnen können

durch das Legen von Flächen Vorerfahrungen sammeln

• ml und l bei Volumenangaben verwenden können
• von einheitsfiguren Volumen bestimmen und vergleichen können

• Größenbereich Volumen kennen
• Größen vergleichen und ordnen können

durch Einheiten ml und l Erfahrungen mit Volumen sammeln

Flüssigkeitsmaß, deshalb verwenden von Messbechern notwendig

• Vorerfahrungen: Wasserverbrauch am Tag
• direkt: Umschüttversuche
• indirekt willkürlich: verschiedene Tassen zum schütten nutzen
• indirekt standardisiert: 1l-Flasche zum schütten nutzen
• Stützpunktvorstellungen: 5l-Eimer, Getränkedose, Packung Milch
• umwandeln
• Sachaufgaben über Wasserverbrauch

• als Maßzahl beim Sachrechnen
• zur Zahldarstellung (Aufbau dekaidsches Zahlsystem 10x1ct=1x10ct)
• zur Zahlzerlegung (schrittweise addieren - 58+17 Scheine und Münzen verdeutlichen Einer und Zehner und werden erst getrennt voneinander addiert und dann zusammengerechnet)

• erste Einheit in der Grundschule
• Einheiten nicht unendlich vergrößer- und verkleinerbar
• kein willkürlicher und standardisierter Vergleich möglich
• Stützpunktvorstellungen durch Inflations chwierig
• keine standardisierten Maßeinheiten, weil Euro überall anders viel wert ist
• Preise und Geldwerte sind schweirig vergleichbar (abhängig von Stückzahl und subjektivem Empfinden)

• ortsunabhängig überall gleich
• g, kg, t

• ortsabhängig
• bei gleicher Masse ist das Gewicht an verschiedenen Orten wegend er Gravitation unterschiedlich hoch
• Newton

• Masse visuell nicht sichtbar - man sieht das Volumen
• schon frühe Erfahrungen durch hochheben von Dingen
• Masse von Objekten nur in kleinem Spektrum wahrnehmbar (20g-50kg, 20g-50g)

• Vorerfahrungen: Ranzen ordnen, schwere Sachen nennen
• direkt: Kleiderbügelwaage
• indirekt willkürlich: nicht genormte Hokzwürfel
• indirket standardisiert: genormte Gewichtsstücke
• Stützpunkte: Tafel Schokolade, Packung Mehl
• umwandeln
• Sachaufgaben mit Rezepten, Ranzengewicht mit Büchern

• Einheiten sind nicht einheitlich dekadisch aufgebaut
• unterscheiden zwischen Zeitpunkt und Zeitspanne
• direkter Vergleich nur bei gleicher Startzeit möglich
• Zeitberechnungen nicht als Gleichungen notieren

• Ausgangspunkt Tag - vergröbern
• Ausgangspunkt Jahr - verfeinern

• Tag: Namen, Reihenfolge, wie viele in Woche und Monat, farbige Unterlegung im Kalender)
• Woche: Abkürzung KW, Anzahl im Jahr, Woche im Kalender ablesen
• Monat: Name, Reihenfolge, wie viele Tage in welchem Monat, wie viele Monate im Jahr

• Kalender entdecken
• Monatsname zu Monatszahl zuordnen
• Zeiteinheiten umrechnen
• Zeitdauer berechnen
• Zeitpunkte benennen
• Datum und Wochentag ablesen
• Tag, Woche, Monat bestimmen

• schreiben: Zeitpunkt und Zeitspanne
• sprechen: Bruch und Richtung
• Funktionen der Zeiger = min und h - zeigen 2 Uhrzeiten an
• Aufbau eines analogen Ziffernblattes

1. Klasse: Tagesabläufe der Kinder mit indirekten Zeitangaben, Tag in volle Stunden aufteilen und mit Aktivitäten verbinden
2. Klasse: min einführen und in Beziehung zur Stunde setzen
3. Klasse: sek einführen und alle Einheiten in Beziehung zueinander setzen
4. Klasse: alle Einheiten in Sachaufgaben festigen

1. volle Stunden
2. viertel, halb, dreiviertel Stunde
3. 5min-Genauigkeit
4. beliebige Uhrzeiten

• Anfang oder Ende und Zeitspanne gegeben und Ende oder Anfang bestimmen

Anfang und Ende gegeben und zeitspanne berechnen

• Befragung (durch Fragebogen an Daten kommen)
• Experiment (unter kontrollierten Bedingungen an Daten kommen)
• Beobachtung (durch Betrachten des Vorgangs an Daten kommen)

• statistisches Grundwissen (mit grafischen und tabellarischen Darstellungen umgehen, Kennzahlen zur Dtaenbeschreibung kennen)
• mathematisches Grundwissen (kennen von Zahlen, Brüchen, Prozenten, Rechenoperationen)
• Daten lesen
• Daten kritisch hinterfragen (Seriösität der Datenquelle)
• Weltwissen (Wissen zur sachgerechten Interpretation und Hinterfragen der Daten)

• Kl.1/2: Untersuchungen mit zwei möglichen Ergebnissen durchführen, einfache Diagramme erstellen, leichte Infos aus Darstellungen entnehmen
• Kl.3/4: Untersuchungen durchführen und darstellen, Infos aus Diagrammen entnehmen, Diagramme mit Anforderungen erstellen

• Lagemaße: geben Schwerpunkt der Daten an (Median, arithmetisches Mittel)
• Streuungsmaße: geben Lage der Daten um den Schwerpunkt herum an (Spannweite, Varianz)

• Vergleichswert (verschieden Datensätze können verglichen werden)
• Prognosewert (für Daten typischer Wert kann vorhergesagt werden)
• repräsentativer Wert (Durchschnitt für den gesamten Datensatz)

• Ausgleichsaspekt (Unterschiede zwischen den Werten werden ausgeglichen)
• Gleichstellungsaspekt (zeigt den Wert, wenn Gesamtwert gleichmäßig auf alle Dtaenwerte aufgeteilt werden würde)
• Schwerpunktaspekt (an dem Punkt sind die Daten im Gleichgewicht)
• Verhältnisaspekt (welcher Wert pro Person/Objekt im Durchschnitt anfällt)

• keine doppelten Ergebnisse#
• unveränderte Möglichkeitenanzahl (mit Wiederholung)
• gibt es mehrere Entscheidungen, werden diese multipliziert

• bei mehreren unabhängigen Entscheidungen werden diese addiert
• Prinzip des getrennten Abzählens

wenn einige Möglichkeiten mehrfach gezählt wurden, wird das Ergbenis durch die Merfachzählungen geteilt

• richtige Entscheidung treffen und verstehen, was diese Wahl mit den Möglichkeiten macht
• Überlegungen begründen und nicht nur Formeln auswendig können (Lehrer Aufgaben selbst durchgehen)
• Kl.1/2: mit material probierend Möglichkeiten finden
• Kl.3/4: Aufgaben durch systematisches Probieren lösen, arbeiten mit Kreuztabelle und Baumdiagramm

• richtigen Aufgabentyp finden - systematisch Lösungen finden anstatt sich auf Anwendung von Formeln zu konzentrieren

• an Vorsilben erkennbar: kilo 10³=x1000, dezi 10 hoch -1=:10, centi 10 hoch -2=:100, milli 10 hoch -3=:1000
• in jedem Größenbereich durchführen
• durch Sachkontext zeigen, dass kleinere und größere Einheiten notwendig sind
• von Einheit x Zehnerpotenz=verfeinern, :Zehnerpotenz=vergröbern

• Mess- und Einheitenkenntnisse
• Stellenwertverständnis
• dezimale Tabelle kennen

• Bruchschreibweise
• Dezimalschreibweise
• gemischte Schreibweise
• Schreibweise in der kleineren Einheit

• trennt Einheiten voneinander
• von links und rechts vom Komma sprechen
• außer bei Geld Ziffern rechts vom Komma einzeln nennen
• nichtbesetzte Stellen mit Nullen auffüllen
• Stellenwerttafel nutzen (dicker Strich bei Einheitenwechsel, mit Nullen auffüllen)

1. Beziehungen zwischen den Einheiten wiederholen
2. welche Umrechnungszahl verdeutlicht welche Beziehung
3. erklären, wie viele Dezimalstellen die jeweilige Größenangabe hat

Maß für die Erwartung, dass ein bestimmtes Ereignis eintritt

• Riemerquader: notieren welche Seite wie oft - diskutieren - Form verändern und vergleichen
• Ankreuzaufgabe ob "nächster Würfelwurf wird eine 5" Zufall ist oder nicht - pro und contra

• deutlich machen, dass es keine eindeutigen Ergebnisse gibt
• Erkenntis, dass man etwas ohne Zufall und raten braucht = Wahrscheinlichkeitsrechnung

• unistrukturales Denken (nur ein Aspekt eines Zfuallsexperiments wird betrachtet)
• multistrukturales Denken (mehrere Aspekte werden betrachtet aber die Zusammenhänge sind noch nicht klar)
• relationales Denken (alle Aspekte werden betrachtet und Zusammenhänge werden beachtet)

• Wahrscheinlichkeit mit Wörtern beschreiben
• vor der Bruchrechnung
• wahrscheinlich oder nicht

• Wahrscheinlichkeit berechnen und mit Zahlen und Prozenten angeben
• nach der Bruchrechnung
• günstige geteilt durch mögliche

• Wahrscheinlichkeit als langfrisitge relative Häufigkeit eines Ereignisses bei hoher Anzahl von Wiederholungen
• Anzahl des Eintretens des zu beobachtenden Ereignis durch die Anzahl der Gesamtversuche

• alle günstigen durch alle möglichen
• alles gleichwahrscheinlich

• Wahrscheinlichkeit mit Hilfe von persönlichen Überzeugungen und Erfahrungen bestimmen
• von Mensch zu Mensch individuell

• alle möglichen Ergebnisse eines zufallsexperiments sind gleichwahrscheinlich
• günstige durch mögliche
• thereotisch bestimmte Wahrscheinlichkeit

• Wahrscheinlichkeit auf Basis persönlicher Überzeugungen bestimmen
• ist eine individuelle Wahrscheinlichkeit

• Wahrscheinlichkeit durch wiederholte Experimente in denen sich relative Häufigkeit mit vielen Wiederholungen stabilisiert
• Gesetz der großen Zahlen anwenden

bei vielen Wiederholungen eines Zufallsexperiments kommt der Durchschnittswert immer mehr an den erwarteten Wert heran