Deskriptive Statistik - bivariate Analysen

Zusammenhang zwischen zwei Variablen aufdecken

-> auch: zweidimensionale Daten

Skalenniveau von entscheidender Bedeutung:

1. zwei nominalskalierte Merkmale
2. zwei ordinalskalierte Merkmale
3. zwei kardinalskalierte Merkmale
4. zwei verschieden skalierte Merkmale (es wird die Methode verwendet, die für das schwächere Skalenniveau zutrifft)

Kontingenzanalyse

-> zu untersuchende Merkmale mit A und B gekennzeichnet

-> verschiedene Ausprägungen (müssen nicht gleich viele sein):

1. A1, A2, ..., Ai mit i = 1, ..., I
2. B1, B2, ..., Bj mit j = 1, ..., J

-> gemeinsame Betrachtung ergibt I*J verschiedene Ausprägungen

Schritte der Datenanalyse:

1. komprimierte Übersicht der erhobenen Daten erstellen (mit Kontingenztabelle)
2. korrigierten Kontingenzkoeffizienten berechnen

Zusammenfassung der absoluten Häufigkeiten nij für die einzelnen Ausprägungen

-> Gegenstück zur Häufigkeitstabelle

-> Zeilen: Ausprägungen des Merkmals A

-> Spalten: Ausprägungen des Merkmals B

-> im Zentrum: absolute Häufigkeiten aller Kombinationen

-> am Rand: Randhäufigkeiten (summieren Häufigkeiten auf)

-> rechte untere Ecke: Gesamtgröße der Stichprobe

quantifiziert Zusammenhang zwischen zwei Merkmalen, von denen min. eins nominalskaliert ist

vier Schritte der Berechnung:

1.) Berechnung der erwarteten Häufigkeiten nij mit Welle (s. FS)

-> absolute Häufigkeiten, die ohne Zusammenhang auftreten würden

-> deskriptive Unabhängigkeit: nij = nij mit Welle

2.) Berechnung der Abstände zwischen absoluten und erwarteten

Häufigkeiten X² (chi) s. FS

-> je größer Abweichung, desto stärker Zusammenhang

-> Werte zwischen 0 und unendlich möglich

-> X² = 0 steht für deskriptive Unabhängigkeit

-> positiv von n abhängig (je größer n, desto größer X²

3.) Berechnung des Kontingenzkoeffizienten K (s. FS)

-> nötig für interpretierbares Ergebnis

-> nur Werte von 0 bis 1 (0, wenn X² = 0)

-> je größer X², desto größer K

4.) Berechnung des korrigierten Kontingenzkoeffizienten K* (s. FS)

-> Einfluss von Anzahl der Ausprägungen wird ausgeschaltet

-> Werte zwischen 0 und 1

0 ≤ K* ≤ 0,2: kein Zusammenhang/keine Abhängigkeit

0,2 < K* ≤ 0,4: schwacher Zusammenhang/schwache Abhängigkeit

0,4 < K* ≤ 0,6: mittlerer Zusammenhang/mittlere Abhängigkeit

0,6 < K* ≤ 0,8: starker Zusammenhang/starke Abhängigkeit

0,8 < K* ≤ 1: sehr starker Zusammenhang/sehr starke Abhängigkeit

Rangkorrelationsanalyse

-> zu untersuchende Merkmale mit X und Y gekennzeichnet

-> für jeden Merkmalsträger existiert ein Punktepaar (xi, yi)

-> Merkmale lassen sich auf Monotonie überprüfen

Monotonie mit zwei verschiedenen Möglichkeiten:

1.) gleichgerichteter/monoton wachsender Zusammenhang

-> x1<x2 <--> y1<y2

2.) entgegengesetzter/monoton fallender Zusammenhang

-> x1<x2 <--> y1>y2

Merkmalsträgern werden Rangplätze zugeordnet

-> Person mit stärkster Ausprägung erhält Rang 1

-> Ränge für Beobachtungen xi des Merkmals X mit ri bezeichnet

-> Ränge für Beobachtungen yi des Merkmals Y mit si bezeichnet

Berechnung des Rangkorrelationskoeffizienten von Spearman (s. FS)

-> Notation: rS

-> Zusammenhang zwischen zwei Merkmalen, die beide min.

ordinalskaliert sind

-> Werte von -1 bis 1

-> negative Werte: monoton fallender Zusammenhang

-> positive Werte: monoton steigender Zusammenhang

0 ≤ rS ≤ 0,2: kein monotoner Zusammenhang

0,2 < rS ≤ 0,4: schwacher monoton fallender/wachsender ZH

0,4 < rS ≤ 0,6: mittlerer monoton fallender/wachsender ZH

0,6 < rS ≤ 0,8: starker monoton fallender/wachsender ZH

0,8 < rS ≤ 1: sehr starker monoton fallender/wachsender ZH

bei der Interpretation müssen die Wörter "und umgekehrt" genutzt werden!

Korrelationsanalyse

-> zu untersuchende Merkmale mit X und Y gekennzeichnet

-> für jeden Merkmalsträger existiert ein Punktepaar (xi, yi)

Streudiagramm wird gezeichnet (Koordinatensystem)

-> x-Achse mit Merkmal X und y-Achse mit Merkmal Y

-> Punktepaare werden im Koordinatensystem eingetragen

-> Anordnung der Punkte lässt Aussagen über Zusammenhang zu

Aufteilung in Quadranten durch x quer und y quer (Mittelwerte)

1. Quadrant: X und Y über Durchschnitt, Differenzen zum Mittelwert positiv
2. Quadrant: X unter Durchschnitt, Y über Durchschnitt, Differenz von X zum Mittelwert negativ, von Y aber positiv
3. Quadrant: X und Y unter Durschnitt, Differenzen zum Mittelwert negativ
4. Quadrant: X über Durchschnitt, Y unter Durchschnitt, Differenz von X zum Mittelwert positiv, von Y aber negativ

-> Mehrheit im I. und III. Quadranten: positiver Zusammenhang

-> Mehrheit im II. und IV. Quadranten: negativer Zusammenhang

-> Stärke und Art des Zusammenhangs wird mit

Korrelationskoeffizienten von Bravais-Pearson bestimmt

kann Punktewolke im Diagramm durch lineare Gerade beschrieben werden?

-> je enger Punkte beieinander sind und Gerade bilden, desto stärker

der lineare Zusammenhang

-> Notation: rx,y (s. FS)

-> Zähler wird auch als Kovarianz bezeichnet (entscheidet über

Vorzeichen)

-> Werte von -1 bis 1 (1: perfekter positiv linearer ZH,

0: kein linearer ZH)

-> Koeffizient positiv: positiv linearer Zusammenhang (und umgekehrt)

Interpretation:

0 ≤ rx,y ≤ 0,2: kein linearer Zusammenhang

0,2 < rx,y ≤ 0,4: schwacher negativer/positiver linearer Zusammenhang

0,4 < rx,y ≤ 0,6: mittlerer negativer/positiver linearer Zusammenhang

0,6 < rx,y ≤ 0,8: starker negativer/positiver linearer Zusammenhang

0,8 < rx,y ≤ 1: sehr starker negativer/positiver linearer Zusammenhang

1. trotz Korrelation besteht keine kausale Beziehung und es kann nicht gesagt, ob eine Variable die andere beeinflusst
2. Scheinkorrelation: bei hohen Korrelationen könnte eine dritte Variable dafür verantwortlich sein
3. Nonsense-Korrelation: Korrelationen zwischen sachfremden Variablen sollten nicht überbewertet werden
4. es könnte eine andere Art des Zusammenhangs statt linearer Zusammenhang vorliegen

lineare Regressionsanalyse

-> Einfluss einer Variable: einfache lineare Regression

-> Einfluss mehrerer Variablen: multiple lineare Regression

-> für jeden Merkmalsträger existiert ein Punktepaar (xi, yi)

-> es muss ein begründeter Verdacht bestehen

-> X: unabhängige Variable oder Prädiktor

-> Y: abhängige Variable oder Kriterium

Voraussetzungen:

1. beide Variablen müssen kardinalskaliert sein
2. beide Variablen müssen in linearem Zusammenhang stehen
3. X beeinflusst Y und NICHT andersrum

Vorgehen bei der linearen Regression:

1. Streudiagramm erstellen (unabhängige Variable auf x-Achse)
2. Korrelationskoeffizient von Bravais-Pearson
3. Bestimmung der Regressionsgeraden yi (s. FS)

Bestimmung der Regressionsgeraden: Methode der kleinsten Quadrate

-> es soll die Gerade ermittelt werden, die die größte Nähe zu den

Punkten im Streudiagramm aufweist

-> die Werte werden dabei geschätzt (yi mit Dach)

-> Abweichungen/Fehler werden als Residuum bezeichnet

-> Methode der kleinsten Quadrate versucht, Fehler zu minimieren

-> Abweichungen werden quadriert und summiert, um eine minimale

Summe zu erreichen

durch Regressionsgerade werden Parameter a und b bekannt

-> a: Regressionskonstante (y-Achsenabschnitt)

-> b: Regressionskoeffizient (Steigung der Geraden)

Regressionskoeffizient kann positiv oder negativ sein

-> positiv: positiver Einfluss auf abhängige Variable (und umgekehrt)

-> je größer Koeffizient, desto steiler Regressionsgerade

Korrelationskoeffizient von Bravais-Pearson

-> ist Streuung nicht annähernd linear, sollte lineare Gerade auch nicht

zur Prognose verwendet werden

-> min. Korrelationskoeffizient von 0,5 oder -0,5

Bestimmtheitsmaß/Determinationskoeffizient

-> erklärte Streuung: auf unabhängige Variable zurückzuführen

-> nicht erklärte Streuung: nicht beachtete Variablen und Messfehler

-> Gesamtstreuung: Summe beider Streuungen

-> Bestimmtheitsmaß R² setzt erklärte Streuung in Relation zu

Gesamtstreuung (Werte von 0 bis 1)

-> R² von 0,7: 70% der Streuung durch unabhängige Variable

-> min. R² von 0,3 für zufriedenstellende Prognose

Standardfehler

-> beschreibt absoluten Schätzfehler bei Nutzung der Regression

-> bei Prognose abhängiger Variable können Fehler auftreten

-> durchschnittlicher Fehler: σx,y mit Dach

-> in Kombination zu anderen Qualitätskriterien zu interpretieren