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Betrachten Sie einen Gauß-Test für H0: μ=0 gegen H1: μ≠0 zum Niveau α=0,05. Welche der folgenden Aussagen sind richtig?
1. Beträgt der p-Wert 0,02, dann wird die Nullhypothese abgelehnt.
2. Beträgt der p-Wert 0,02, dann ist Alternativhypothese mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,98 wahr.
1. Die Aussage ist richtig. Die Testentscheidung kann aufgrund des p-Werts getroffen werden. Die Nullhypothese wird abgelehnt, falls der p-Wert kleiner als das Signifikanzniveau ist.
2. Die Aussage ist falsch. Beim p-Wert handelt es sich um die Wahrscheinlichkeit die realisierte Teststatistik oder einen in Richtung der Alternativhypothese extremeren Wert zu erhalten, unter der Annahme, dass die Nullhypothese wahr ist. Eine Aussage über den Wahrheitsgehalt der Alternativhypothese ist damit nicht verbunden.
Richtig oder Falsch? Es existiert ein Stichprobenumfang n*, bei dem die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Stichprobenmittel von der 2 um mehr als 0,1 abweicht, gleich 0 ist. Nutzen Sie hierfür das Gesetz der großen Zahlen.
Die Aussage ist falsch. Für ein größer werdendes n konvergiert die Wahrscheinlichkeit gegen 0, wird aber niemals gleich 0.
Richtig oder falsch? Seien X1, X2,..., Xn unabhängig, identisch B1,π verteilte Zufallsvariablen, dann gilt: X̅ ist ein schwach konsistenter Schätzer für π
Die Aussage ist richtig. Das arithmetische Mittel ist immer ein erwartungstreuer und konsistenter Schätzer für den Erwartungswert. Da der Erwartungswert der Bernoulli-Verteilung E(X)=π ist, ist X̅ ein schwach konsistenter Schätzer für π.
Richtig oder falsch? Seien X1, X2,..., Xn unabhängig, identisch B1,π verteilte Zufallsvariablen, dann gilt: X̅(1-X̅) ist ein schwach konsistenter Schätzer für V(Xi).
Die Aussage ist richtig. Die Varianz einer Bernoulli-Verteilung ist V(X)=π(1-π). Ist X̅ ein schwach konsistenter Schätzer für π, dann ist aufgrund des Stetigkeitssatzes X̅(1-X̅) ist ein schwach konsistenter Schätzer für π(1-π).
Richtig oder falsch? Jeder schwach konsistente Schätzer ist auch erwartungstreu.
Die Aussage ist falsch. Die Konsistenz hängt nicht von der Erwartungstreue ab (siehe Blatt 5, Aufgabe 2).
Richtig oder falsch? Die Varianz eines konsistenten Schätzers muss für n→∞ gegen Null gehen.
Die Aussage ist richtig. Dies entspricht der Definition der Konsistenz.
Richtig oder falsch? Ist der Schätzer T schwach konsistent für Θ, dann ist T³ schwach konsistent für Θ³ .
Die Aussage ist richtig aufgrund des Stetigkeitssatzes.
Ist die Aussage über die Länge des Konfidenzintervalls für den Erwartungswert μ einer Normalverteilung mit bekannter Varianz richtig oder falsch, falls nur die Auswirkungen der variierten Größe betrachtet wird (ceteris paribus)?
Je kleiner das Konfidenzniveau (1-α) ist, desto länger ist das Konfidenzintervall.
Die Aussage ist falsch. Je kleiner die Sicherheitswahrscheinlichkeit ist, desto kleiner ist auch das Intervall.
Ist die Aussage über die Länge des Konfidenzintervalls für den Erwartungswert μ einer Normalverteilung mit bekannter Varianz richtig oder falsch, falls nur die Auswirkungen der variierten Größe betrachtet wird (ceteris paribus)?
Eine Verdoppelung von n bewirkt eine Halbierung der Länge.
Die Aussage ist falsch. Eine Halbierung der Länge des Intervalls erhält man durch eine vervierfachung von n.
Ist die Aussage über die Länge des Konfidenzintervalls für den Erwartungswert μ einer Normalverteilung mit bekannter Varianz richtig oder falsch, falls nur die Auswirkungen der variierten Größe betrachtet wird (ceteris paribus)?
Je größer σ ist, desto länger ist das Konfidenzintervall.
Die Aussage ist richtig. Je größer die Streuung der Zufallsvariable, desto länger ist das Intervall, auf dem der unbekannte Parameter liegen kann.
Richtig oder falsch? Bei einem Signifikanztest bedeutet das Begehen eines Fehlers erster Art, eine richtige Nullhypothese abzulehnen.
Die Aussage ist richtig. Wird die Nullhypothese abgelehnt, obwohl sie richtig ist, handelt es sich um den Fehler erster Art. Die maximale Wahrscheinlichkeit für den Fehler erster Art ist gleich α.
Richtig oder falsch? Nur die Entscheidung für die Alternativhypothese lässt sich durch einen Signifikanztest statistisch absichern.
Die Aussage ist richtig. Wird die Alternativhypothese angenommen, dann ist sie entweder richtig, oder man begeht den Fehler 1. Art. Die maximale Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art wird durch das Signifikanzniveau α kontrolliert.
Bei einer Entscheidung für die Nullhypothese ist entweder die Hypothese richtig, oder es liegt ein Fehler 2. Art vor. Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art ist nicht kontrollierbar.
Richtig oder falsch? Die Teststatistik eines Signifikanztests ist eine Zufallsvariable.
Die Aussage ist richtig. Die Teststatistik eines Signifikanztests ist eine Zufallsvariable, da sie eine Funktion der Stichprobenvariablen ist.
Richtig oder falsch? Vergrößert man den Stichprobenumfang bei einem Signifikanztest, so wird (ceteris paribus) die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler zweiter Art kleiner.
Richtig oder falsch? Vergrößert man den Stichprobenumfang bei einem Signifikanztest, so wird (ceteris paribus) die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler zweiter Art kleiner.
Richtig oder falsch? Der Ablehnungsbereich eines Signifikanztests ist vom Stichprobenergebnis abhängig.
Die Aussage ist falsch. Der Ablehnungsbereich ergibt sich alleine aus dem zu testenden Hypothesenpaar, dem gewählten Signifikanzniveau, der verwendeten Testfunktion und der Verteilung dieser Testfunktion unter der Nullhypothese.
Richtig oder falsch? Die Verifikation einer Nullhypothese mit Hilfe einer Zufallsstichprobe ist ein starker Beleg für die Nullhypothese.
Die Aussage ist falsch. Bei Testentscheidungen handelt es sich stets um Entscheidungen unter Unsicherheit. Absolute Sicherheit ist nicht möglich, d.h. Fehlentscheidungen sind grundsätzlich möglich. Der Test wird lediglich so konstruiert,dass die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art mit a kontrolliert wird.