Durchschnittlicher Fortschritt
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Division - aufteilen
- gegeben: Gesamtmenge (Dividend), Anzahl der Elemente in der Teilmenge (Divisor)
- gesucht: Anzahl der Teilmengen - wie viele Teilmengen können gebildet werden
-
- Handlung abgeschlossen und Ergebnis der Handlung wird betrachtet
- Es wurden gleichmächtige Teilmengen gebildet und die Anzahl der Teilmengen wird deutlich
-
- es wird eine Handlung vollzogen
- Es erfolgt ein wiederholtes aufeinanderfolgendes Aufteilen gleichmächtiger Mengen
- Anzahl der Teilmengen wird durch schrittweises vorgehen bestimmt
Division - verteilen
- gegeben: Gesamtmenge (Dividend) und Anzahl der Teilmengen (Divisor)
- gesucht: Anzahl der Elemente in den Teilmengen und wie groß die sind die gebildet werden
-
- Verteilung wurde vorgenommen und das Ergebnis der Handlung wird betrachtet
-
- wiederholtes verteilen auf bekannte Anzahl der Teilmengen
- Anzahl der Elemente in den Teilmengen ergibt sich wenn der Verteilprozess abgeschlossen ist
Division als Umkehroperation der Multiplikation
- Grundaufgaben der Division mit denen der Multiplikation lösen
- Wie oft passt der gegebene Divisor in den Dividenden hinein?
Division als wiederholte Subtraktion
- wiederholtes wegnehmen von Werten in der Größe des Divisors
- Divisor als multiplikativer Vergleich
- Quotient wird mit multiplikativer Beziehung ausgedrückt
Division im Matheunterricht
A) im Anschluss an die Multiplikation
2. erarbeiten Division/teilen
3. Grundaufgaben der Multiplikation und Division werden in enger Beziehung zueinander erarbeitet
2. erarbeiten Division/teilen
3. Grundaufgaben der Division werden mit Bezug zur Multiplikation erschlossen
- das was vervielfältigt wurde, wird wieder rückgängig gemacht
2. erarbeiten Division/teilen
3. Grundaufgaben der Multiplikation und Division werden in enger Beziehung zueinander erarbeitet
- Division als Operation wird im Anschluss thematisiert
2. erarbeiten Division/teilen
3. Grundaufgaben der Division werden mit Bezug zur Multiplikation erschlossen
Rechenstrategien mündliches dividieren
- Nachbaraufgabe: durch vergrößern/verkleinern des Dividenden um den Wert des Divisors bilden
- Umkehraufgaben: durch bilden der entsprechenden Multipliaktionsaufgaben
- Verdoppeln/halbieren: Aufgaben durch verdoppeln/halbieren des Dividenden bilden aber beachten dass Teilbarkeit ohne Rest erhalten bleibt
- Schrittweise rechnen: durch additive/subtraktive Zerlegung des Dividenden in Vielfache des Divisors entstehen leicht lösbare Aufgaben
Mündlich dividieren mit Rest
- entstehender Rest wird zum Ergebnis geschrieben
Halbschriftlich dividieren Rechenstrategien
- schrittweise rechnen: additive/subtraktive Zerlegung eines Teilers der Aufgabe und mit anderem Teil der Aufgabe dividieren
-
- benachbarte Hilfsaufgabe: Hilfe damit die Zahl zum Zehner voll wird und dann ausgleichen
- Analogieaufgabe: vereinfachte Aufgabe (zb ohne Nullen) und dann ausgleichen
Unterrichtseinstieg halbschriftliches dividieren
- Klassifikationsytepen verteilen und Schüler auffordern den Verteilprozess zu beschreiben
- Bewusst machen dass beliebige Vielfache pro Runde gewählt werden können
- Dividend aufgrund des Wegnehmers schrittweise verkleinern
- Auf andere Aufgaben übertragen
- 10er-Vielfaches des Divisors bilden als erster Rechenschritt für erste Teilrechnung genutzt
- nach einiger Zeit Notation in verkürzter Weise
- Bei mehr als 2 Zerlegungsschritten ist andere Notation notwendig - Vielfache des Divisors bilden und schrittweise vom gegebenen Dividenden abziehen
Schriftlich dividieren Grundlagen
- für alle natürlichen Zahlen gilt: a ist durch b teilbar, wenn für sie gilt a=q*b
- Satz mit Division mit Rest: a=q*b++r, wenn r=0 dann gibt es keinen Rest und der Rest muss kleiner sein als der Wert des Divisors
Schritte beim schriftlichen dividieren I
- Überschlagsrechung: vorherige Abschätzung der Größe des Quotienten, kann auf Stellenwertfehler zeigen, Überschlag stellengerecht über Divisionsaufgabe schreiben
- Ermitteln erster Teildividend
B) 1.Ziffer des Dividenden kleiner Divisor = zwei Ziffern bilden ersten Teildividenden
Schritte beim schriftlichen dividieren II
- • schätzend erste Wertziffer des Quotienten: wie oft passt Divisor in 1.Teildividenden=1.Teilergebnis, es muss das größtmögliche Vielfache des Divisors gefunden werden
- kleine Gegeneprobe: gefundenes Teilergebnis wird mit dem Divisor multipliziert und das Ergebnis wird passend unter den 1.Teildividenden geschrieben
- Subtraktion: ohne Minuszeichen zu schreiben, wird die Differenz zwischen Teildividend und Teilergebnis der mutliplikativen Gegenprobe ermittelt
Schritte beim schriftlichen dividieren III
- Zwischenkontrolle: Differenz muss kleiner sein als der Divisor - sonst war gewähltes Vielfaches des Divisors zu klein und muss korrigiert werden
- herunterholen der nächsten Ziffer: Entbündelung des Restes in nächst kleineren Stellenwert und wiederholen der Schritte
- Kontrolle: schriftliche Division mit hilfe des schriftlichen Verfahrens der Multiplikation oder des Taschenrechners
Didaktische Empfehlungen schriftliches dividieren
- an Voraussetzungen des halbschriftlichen dividierens anknüpfen: Schülern bewusst machen dass beliebige Vielfache des Divisors vom gegebenen Dividenden weggenommen werden
- Zur Erarbeitung wird Sachkontext des Verteilens genutzt: zu Sachkontext die Divisionsaufgabe aufstellen und Überschlag rechnen
- Erarbeitung der Schritte des Algorithmus: durch Dienesmaterial, Rechengeld, Plättchen in Stellenwerttafel
Didaktische Empfehlungen schriftliches dividieren II
- Nutzung der Stellentafel: Aufgaben in Tafel schreiben und Verknüpfung zu symbolischer Ebene herstellen und mitsprechen der Stellenwerte
- Protokollierung des Vorgehens: Schritt für Schritt entsteht Rechnung, für Lernende muss klar werden welche Handlungsschritte wie und wo notiert werden und man muss darauf achten dass das größtmögliche Vielfache als Dividend genutzt wird
- Weiteres Vorgehen im Unterricht: mehrere Beispiele rechnen, später Stellenwerttafel weglassen und Vorgehen kommentieren und auch später weglassen
Planung Unterrichtsablauf
1. Materialhandlung mit kommentieren der Schüler
2. beobachten der Materialhandlung bei Lehrern und Mitschülern
3. nachvollziehen der Materialhandlung und beschreiben des Vorgehens und Notation
4. üben und festigen - Zerlegungsschritte minimieren und stellenweise vorgehen
2. beobachten der Materialhandlung bei Lehrern und Mitschülern
3. nachvollziehen der Materialhandlung und beschreiben des Vorgehens und Notation
4. üben und festigen - Zerlegungsschritte minimieren und stellenweise vorgehen
Fehler mündliches dividieren
- Division mit Null wird nicht immer richtig gelöst - begründen und Verteilsituationen deutlich machen
- verzählen um 1 bei langen Malreihen - gründliche Erarbeitung der Grundaufgaben der Multiplikation, Aufgabenfamilien und Beziehungen festigen
- Fehler beim Rest: die Bedeutung ist nicht klar oder es wird mit Dividenden in gegebener Aufgabe die falsche Differenz gebildet - gründlich an vielen Beispielen erarbeiten/üben/Schreibweise erklären
Fehler halbschriftliches dividieren
- falsch mit den Nullen im Dividend und Divisor umgegangen
- Fehler bei der Anwendung einer halbschriftlichen Rechenstrategie/Rechenschritte nicht richtig/falscher Transfer von einer Strategie des multiplizieren auf das Vorgehen bei der Division - Zerlegung des Dividenden und Nutzung entstandener Zahlen oft üben
Fehler schriftliches dividieren
- mangelndes Wissen der Grundaufgaben der Multiplikation und Division
- Fehler beim rechnen mit der Null
- Fehler in der Ausführung der Rechenprozedur des Algorithmus
Potentielle Fehlerquellen beim schriftlichen dividieren
- Teildividend ist größer als der Divisor - es werden immer mehr zahlen heruntergeholt bis der Divisor größer ist und die Nullen werden nicht aufgeschrieben
- letzter Teildividend ist kleiner als der Divisor . Wird sofort als Rest notiert und die Null wird nicht im Quotienten geschrieben
- Teildividend wird zu klein abgeschätzt - es entsteht ein Rest der größer ist als der Divisor, wird nochmal geteilt und im Quotient eine weitere Zahl geschrieben
Potentielle Fehlerquellen beim schriftlichen dividieren mit der Null
- falsche Gegenprobe - falscher Rest
- Null am Ende des Dividenden wird in der Rechnung nicht beachtet
- Bei mehreren Nullen im Dividenden wird das herunterholen weiteren Nullen übersprungen