Lösung Übung 1.pdf

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Uploaded by Jan Bicker 101187 at 2019-04-09
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Hier meine abgetippte Lösung der ersten Übung.

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kannst du mir vielleicht diesen Schritt erläutern? bin irgendwie zu blöd dafür verstehe nicht ganz was hier gemacht wurde und weshalb dann zwei mal das mal 2x im Zähler vorkommt... :D finde die Übung leider ganz schlimm habe letztes jähr schon nichts verstanden bei sämtlichen Übungsleitern
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Ja, die Daumen runter sind nervig
Hätte man hier am Ende auch 8x/x^4 stehen lassen können?
Müsste das nicht +1 sein?
Ja
Warum für x <= 0 1/5 ? -2,-1 und 0 gehören doch dazu ?
Y nimmt die Werte -2 und -1 nicht an, da die Zahlen quadriert werden. Der kleinstmögliche Wert ist 0 mit W'keit 1/5
Die Funktion ist auch monoton steigend wenn die Ableitung genau 0 ist oder? also sie muss nicht >0 sein?
≥0 ist die Bedingung, ja, also auch für =0
was bedeutet die # in der Aufgabenstellung?
Anzahl
wieso ist denn i hoch 2 immer positiv ? -2 hoch 2 ist doch negativ oder ?
Öhm nein ?
wieso ist das null? kann mir jemand ne art Rechenweg dazu sagen?
Laut der Aufgabenstellung hat die Funktion F_X für alle Zahlen KLEINER-GLEICH 2 den Funktionswert 0. Wenn man also x gegen minus-unendlich laufen lässt, MUSS der Funtkionswert ja 0 ergeben, da minus-unendlich definitiv kleiner ist als 2.
kann mir das nochmal genauernerklären. Man betrachtet ja Schnittmengen. Aber i^2 hat ja kein -1 in seiner Menge
Gesucht sind Zahlen i aus {-2,-1,0,1,2}, die sowohl i≤0 als auch i²≤3 erfüllen. Dies ist natürlich für -1 der Fall: Einerseits ist -1≤0, andererseits ist (-1)²=1, also auch (-1)²≤3. Somit liegt -1 in der Menge. Genauso zeigt man es für 0. Und für alle anderen Zahlen, also -2, 1 und 2 findet man heraus, dass mindestens eine der beiden Eigenschaften nicht erfüllt ist.
Wofür braucht man noch zusätzlich diesen Ausdruck? Reicht es nicht aus nur 1 − P ( X ≤ 0) aufzuschreiben?
Naja, es gilt halt P(X <= t) = F_X(t) und das wird hier mit t=0 verwendet. Kannst es natürlich (in diesem Fall) auch direkt ausrechnen: P(X>0) = P(X=1) + P(X=2) = 0,2+0,2 .. aber muss ja nicht immer so einfach sein.
Hat jemand die Aufgabe 4 b)?
Die müsstest du in anderen Dokumenten finden
ich kann das hier sehr schlecht erkennen.. kann mir jemand das nochmal erklären?
X und Z sind identisch verteilt, wenn ihre Verteilungsfunktionen Fx und Fz übereinstimmen, also Fx(t)=Fz(t) für alle t gilt. Aber was heißt das genau? Das heißt: Für alle t muss die Wahrscheinlichkeit, dass X ≤ t ist, gleich der Wahrscheinlichkeit sein, dass Z ≤ t ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass X ≤ t ist, ist ja die Summe der Wahrscheinlichkeiten X = j für die Zahlen j mit j≤t. Genauso ist die Wahrscheinlichkeit, dass Z ≤ t ist, die Summe der Wahrscheinlichkeiten Z = j für die Zahlen j mit j≤t. Wenn aber für jede Zahl j die Wahrscheinlichkeit, dass X = j ist, gleich der Wahrscheinlichkeit ist, dass Z = j ist, folgt mit obigem Argument sofort, dass für jede Zahl t die Wahrscheinlichkeit, dass X ≤ t ist, gleich der Wahrscheinlichkeit ist, dass Z ≤ t ist. Daher reicht in der Aufgabe die Begründung, dass für alle Zahlen j gilt, dass P(X=j) = P(Z=j) ist, aus. Alternativ könnte man natürlich die Verteilungsfunktionen jeweils beide bestimmen und dann vergleichen, ob sie übereinstimmen.
Danke!!
Könnte mir jemand das erklären ? Hab da ein kleinen Hänger leider.
Hier wird Fx,z(t,t) gesucht. Das ist der Wert der gemeinsamen Verteilungsfunktion von X und Z an der Stelle (t,t). Das heißt (mal ein bisschen übersetzt): Man hat eine Zahl t und sucht die Wahrscheinlichkeit, dass X und Z beide darunter oder gleich sind. Ich denke, das geht auch aus der Definition ein bisschen hervor: Fx,z(t,t) = P(X≤t, Z≤t). P(X≤t, Z≤t) entspricht nun der Wahrscheinlichkeit für eine Zahl i aus dem Ereignisraum {-2,-1,0,1,2}, für die die Werte X(i) und Z(i) beide kleiner oder gleich t sind. Hier hat man nun X(i) = i und Z(i) = -i gegeben. Dementsprechend lässt sich der vorherige Absatz auch folgendermaßen formulieren: Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für eine Zahl i aus dem Ereignisraum {-2,-1,0,1,2}, für die die Werte i und -i beide kleiner oder gleich t sind. Wie es nun bei der Verteilungsfunktion so ist, muss man dann für alle möglichen Zahlen t schauen, wie groß diese Wahrscheinlichkeit ist. Zugegebenermaßen ist es zunächst etwas unübersichtlich, wie groß diese Wahrscheinlichkeit ist. i≤t und -i≤t müssen jeweils gelten. Um das etwas übersichtlicher zu machen, lässt sich die zweite Ungleichung (-i≤t) umformen zu i≥-t. (An dieser Stelle liegt bei der Markierung ein Tippfehler vor.) Heißt: i≤t und i≥-t müssen gelten. Bzw.: Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für eine Zahl i aus dem Ereignisraum {-2,-1,0,1,2}, für die i einerseits ≤t und andererseits ≥-t ist, zusammengefasst: -t≤i≤t. Jetzt lässt sich deutlich besser für alle Zahlen t schauen, wie groß diese Wahrscheinlichkeit ist: Für Zahlen t<0, z.B. t=-1, ist diese Wahrscheinlichkeit 0, denn die Bedingung -t≤i≤t kann schon gar nicht gelten, weil -t≤t dann schon nicht gilt. (Im Bsp.: -t=-(-1)=1 und t=-1.) Dann kann es ja erst recht keine Zahl i geben, die ≥-t und ≤t ist. Weiter geht es mit t=0, dann lautet die Bedingung -0≤i≤0, was logischerweise nur für i=0 der Fall ist. Es ergibt sich also die Wahrscheinlichkeit 1/5. (Für eine der fünf Zahlen aus dem Ereignisraum ist dies ja hier der Fall.) Man kann (mit etwas Überblick) erkennen, dass sich für t zwischen 0 und 1 daran nichts ändert. Betrachtet man bspw. t=0.9, lautet die Bedingung -0.9≤i≤0.9. Das ist weiterhin nur für i=0 der Fall, die Wahrscheinlichkeit ist also weiterhin 1/5. Erst bei t=1 ändert sich etwas: Die Bedingung ist dann -1≤i≤1, was nicht nur für i=0, sondern auch für i=-1 und i=1 der Fall ist. Also erhält man hier eine Wahrscheinlichkeit von 3/5. Für t zwischen 1 und 2 ändert sich daran wieder nichts (was hoffentlich auch ersichtlich wird). Bei t=2 lautet schließlich die Bedingung -2≤i≤2. Diese Bedingung erfüllen alle i aus dem Ereignisraum, womit eine Wahrscheinlichkeit von 1 vorliegt. Das gilt natürlich auch für alle t>2. Insgesamt gilt also: Fx,z(t,t) = ... ... 0, für t<0 ... 1/5, für 0≤t<1 ... 3/5, für 1≤t<2 ... 1, für t≥2 Wenn man einen solchen Aufgabentypen einmal richtig verinnerlicht hat, geht er dann natürlich deutlich schneller von der Hand als ich es hier ausgeführt habe.
Vielen Dank für die ausführliche Antwort.
wo ist denn die c)?
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So, hier mal die Lösung zur Teilaufgabe 1 c):
Weil die Funktion H(x) bei einem x-Wert von 0 genau den Wert WURZEL(0+0,5)=WURZEL(0,5) annimmt.
was hat diese Erklärung zu bedeuten? Ist so unklar..
Zum Einen gilt Fx(1.3) = P(X ≤ 1.3), das ist ja die Definition der Verteilungsfunktion. Genauso gilt Fx(1) = P(X ≤ 1). In der Aufgabe geht es ja darum, zu überprüfen, warum Fx(1.3) = P(X < 1.3) ist, aber Fx(1) ≠ P(X < 1) ist. Und da spielt halt Folgendes eine Rolle: Fx(1.3) = P(X ≤ 1.3) = P(X = 1.3) + P(X < 1.3) Fx(1) = P(X ≤ 1) = P(X = 1) + P(X < 1) Insbesondere das jeweils zweite „=“ ist hier wichtig. (Das jeweils erste „=“ hatte ich oben schon erläutert.) Es gilt dabei jetzt P(X = 1.3) = 0 und P(X = 1) = 1/5. Wenn das jeweils in die beiden Gleichungen oben eingesetzt wird, steht da: Fx(1.3) = P(X ≤ 1.3) = P(X = 1.3) + P(X < 1.3) = 0 + P(X < 1.3) = P(X < 1.3) Fx(1) = P(X ≤ 1) = P(X = 1) + P(X < 1) = 1/5 + P(X < 1) ≠ P(X < 1) Und damit wäre die Aufgabe gelöst. Der Zweck dieser Aufgabe liegt daran, zu verinnerlichen, dass Fx(t) nicht dasselbe ist wie P(X < t). Das ist nämlich genau dann nicht der Fall, wenn P(X = t) > 0 ist, also t selbst ein Ergebnis des Zufallsexperiments ist.
Muss man hier den „Trick“ anwenden? Ich hätte nämlich einfach die 2 eingesetzt, dann würde man ja zum selben Ergebnis kommen
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Super, danke für die Antwort ?
epsilon ist nicht = 0 sondern > 0, aber ja, kannst die 2 einsetzen
Wie kommt man darauf? Also wieso ist das X dann weg?
Weil natürlich ALLE Werte aus dem Wertebereich kleiner-gleich 3 sind: der Wertebereich Ω besteht ja aus den Zahlen -2,-1,0,1,2. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X einen Wert kleiner-gleich 3 annimmt ist natürlich 100%. Weil man sich also um die Variable X "keine Sorgen" machen muss in dieser Rechnung (im Sinne von: ich muss gar nicht erst nach X schauen, diese Bedingung ist ohnehin erfüllt), betrachtet man einfach nur die Variable Y. Und für Y (dass durch i² abgebildet wird) kommt aber eben nur die 0 in Betracht, weil alle anderen Werte aus dem Wertebereich quadriert Werte ergeben würden, die größer als 0 sind. Beantwortet das Deine Frage?
Ist ja logisch ? kam nicht drauf.. Vielen Dank?
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Hey Jan. In welcher Übung warst du? Warst du mit der übungsgruppe zufrieden?
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In dee Übung bin ich auch angemeldet, leider konnte ich gestern nicht da sein... ich werde jetzt mal noch eine Gruppe testen und hier berichten ??
Mittwochs 8-10 Uhr wird von einer jungen Frau gehalten und ist definitiv nicht verkehrt, Sie meinte Sie hatte auch gestern schon eine Übung gehalten, ich denke das war dann die Übung wo Jan von berichtet.
Umgekehrt oder ?
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Jop
Ach, ich bin ja ein Eumel, ja selbstverständlich, ihr habt recht. Danke für den Hinweis!
Kann das jemand erklären?
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kommt auf die Funktion an, also wo das gleichheitszeichen bei dem größer oder kleiner steht
Also bei größer prüft man ob es rechtsseitig Steig ist?
woher die -3 und woher überhaupt die Formel ? :D
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Also könnte man sich jetzt einfach was aussuchen oder wie ? :(
die -3 ist nur ein beispiel für eine Zahl kleiner als -2