VT–Klausur 2018.pdf

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VT-Klausur 2017/2018 WS

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hier hat er x3 und x2 vertauscht, richtig?
Muss man hier die Dreiecksform unten und oben machen? Weil ich hab nur die die untere Dreiecksform gemacht und dachte das reicht, aber es kommen bei mir andere Vektoren raus.. liegt es daran, dass ich das noch weiter rechnen musste?
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Bei der Matrix? 0 0 0 1 2 0 | 3
Als ich zuerst gerechnet habe, hatte ich dieses Ergebnis: (8, 1, 4, 5, 0, 0) + s (10, 8, 9, 6, 1, 0) + t (8, 0, 8, 1, 0, 1) Beim zweiten Mal: (6, 3, 3, 3, 0, 0) + s (2, 3, 8, 9, 1, 0) + t (3, 0, 9, 0, 0, 1)
Wie kommt man darauf, das es unabhängig sind ?
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Weiß das jemand?
Ja, es sollte w1, w2 etc heißen, und die ersten 4 sind linear unabhängig, w5 ist w4+w1
Was ist damit gemeint und wie kommt man darauf?
Wie kommt man hier auf 4?
Könnte man nicht hier einfach in der untersten reihe 2[3] + [1] rechnen und hat somit in der letzten reihe sofort 0 0 0 -1 0 stehen oder ist es falsch?? wäre doch einfacher oder?
das wäre falsch, das ergebnis wäre 1 0 0 0 1
ah ich habe es übersehen danke :D
wieso nimmt man am ende nicht die ß5 dazu ? also noch -8t und wieso kommt da ß2 = 0 raus ?????
B5 hat er vergessen aufzuschreiben...wenn du das mit B5 aufschreibst ,dann kommt nach der Rechnung -14B2 = 0; raus. also ist B2= 0;
Wofür steht das "<3"?
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Was denn jetzt, Anzahl Zeilen oder Spalten?
Spalten, da eine Matrix m x n ist. Das erste immer Zeilen und das zweite Spalten. Wenn ihr sowas nicht genau wisst einfach einen Blick ins Skript werfen.
Steht m für die Zeilenanzahl und n für die Spaltenanzahl der Anfangsmatrix?
Ja
Müsste hier nicht "K3" stehen?
Wann ist Phi injektiv und wann surjektiv bzw. bijektiv?
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1. Dimensionsformel 2. Der Name der linearen Abbildung 3. Dimension
Ich meinte, was sagt die Diemsion nochmal aus..
Wie ist die 4x4 Matrix plötzlich zu dieser 3x3 matrix geworden? Und wenn -1-lambda ausgeklammert wird, warum steht es dann doch wieder in der ersten Zeile?
Laplace'sche Entwicklungssatz
hi ich stehe grad echt auf dem schlauch. Warum ist bei A32 dort eine 0 wenn (2α-6)-(3α-6) ,was [3]-3x[2] ist, da steht müsste dort nicht -α stehen?
Davor ist auch schon was falsch. [2]+2*[1] da müsste 3alpha-6 im nächsten LGS stehen und nicht 2alpha-6. Vllt falsch von der Tafel abgeschrieben.
Ist das Endergebnis bei dieser Aufgabe falsch?
Wenn man mal in allen Altklausuren stöbert sieht man ja, dass so eine Aufgabe ziemlich selten ist. Für wie wahrscheinlich haltet ihr es diesmal bzw hat Lewintan was dazu gesagt?
Und kann jemand das allgemeine Vorgehen bei so einer Aufgabe erklären?
Würde mich auch interessieren, wie genau man bei Nr.1 vorgehen muss. Eine Erklärung oder ein hilfreiches Video wären super!
Kann jemand den Lösungsweg erklären verstehe den nicht ??
Das ist der Entwicklungssatz von Laplace. Am besten schaust du dir dazu ein Video an wo das erklärt wird. Z.B. hier: https://www.youtube.com/watch?v=AnezNBuRkEY
Wie geht die Aufgabenstellung weiter ?
Ist es notwendig diesen Schritt nochmal aufzuschreiben? Wir haben genau das schon dadrüber stehen
Hier muss man die zweite zeile überall mit der dritten vertauschen, oder?
Kann man diese Vorgehensweise bei allen 4x4-Matrizen anwenden unabhängig von der Anzahl der Nullen ?
Ja das funktioniert immer.
bzw. bei allen quadratischen Matritzen
irgendwie hab ichs vergessen aber woher weiss ich wie lange ich hier zum Beispiel umformen muss? Warum hört man zb auf sobald der rg(a) = 2 ist?
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Vielleicht hilft es sich ein paar Videos / Beispiele zum Gauß Algorithmus anzuschauen das wird ja hier angewendet. I.d.R. formt man solange um bis das LGS auf die Stufenform gebracht wurde (d. h. in der ersten Spalte ab der zweiten Zeile überall Null, in der dritten Spalte ab der dritten Zeile überall Null usw.). Wenn man fertig ist merkt man es auch daran, dass man keine Zeile mehr vereinfachen kann indem man sie mit einer anderen Zeile addiert (also die Anzahl der Nullen in der Zeile lassen sich nicht weiter erhöhen). Wenn man es ein paar mal gemacht hat sieht man auch recht schnell wann man fertig ist.
Stufenform ist das Zauberwort. Hab gerade irgendwie Blackout gehabt Danke Qre Fpunxny. Und auch dir ein Danke, Meepo
ich nehme an, hier müsste 4s stehen?
jo
Wie ermittelt man hier die -1 und 3 ?
-1-Lam. = 0 ebenso 3 - Lam. = 0
Die Gleichung lautet (-1-x)^2 * (3 - x)^2. Wir suchen die Nullstellen. Das Produkt ist Null wenn einer der Faktoren Null ist. (-1 -x)^2 = 0 -> x = -1 und (3 - x)^2 = 0 -> x = 3. Wegen dem Quadrat (^2) jeweils mit Vielfachheit 2.
Hallo, weiß jemand vielleicht woher dieses x3=s kommr obwohl s in der matrix immer null ist dankeschön
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@Qre Fpunxny Wie sieht man, das x1 nur 0 sein kann? Hätte man auch sagen können x3 ist 0 und x1 ist frei wählbar? danke! :)
Nein das kann man nicht. Du kannst ja die Matrix zeilenweise aufschreiben. 1. Zeile entspricht dann 4*x1 = 0 und die 2. Zeile entspricht -4*x2 + 4*x4 = 0. Ich denke es ist offensichtlich dass die erste Zeile nur dann wahr sein kann wenn x1 = 0 ist.
Muss man hier Zeilen tauschen?
Nein muss man nicht und bitte aufpassen in der Aufgabe sind Rechenfehler drin.
Ich bin bis hier gekommen, weiß aber nicht wie weiter gerechnet wird :/
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Hier etwas ausführlicher
ich danke dir!
Dieses Ergebniss ist Falsch es ist 3Alpha - 6
stimmt
Hi, wie wurde aus dem vorherigen Schritt das hier zusammengefasst? Bzw wie nennt sich diese Art der Rechnung/Zusammenfassung, dass ich das bis morgen online lerne? Danke
Das ist die Addition von zwei Brüchen mit unterschiedlichen Nennern. Der Bruch 4/1 wurde erweitert indem Zähler und Nenner mit (alpha + 1) multipliziert wurde. Also (4*(alpha + 1)) / (1 * (alpha + 1)). Dann wurde der Zähler ausmultipliziert. 4*(alpha +1) = 4 alpha + 4. Nun die beiden Zähler der Brüche addieren.
Also Ganze Zahlen mit Brüchen subtrahieren ist das was du hier machst . Gemeinsamen Nenner suchen (was (Alpha +1) ist) und das mit der 4 erweitern. Und dann klammern ausmultiplizieren und zusammenfassen.
sollte hier nicht w1,w2,w3,w4 stehen?
nein, das sind die Werte von v1,v2,v3,v4,v5
Hallo hat jemand eine Ahnung wie man auf diese Zahlen kommt Vielen Dank
links nach rechts 2 0 die werte von x1 1 -------- 1 3 die werte von x2 0 usw..
So.
Gibt es einen Grund, wieso man genau x2=t und x3=s genommen hat, oder hätte man auch x1=t und x2=s nehmen können? Vielen Dank!
Ist egal, du kannst die auch vertauschen.
Danke :)
Anstatt alpha(3*x1.. --> alpha(3*x2. und in der selben Zeile beta(...+ 2*y2) --> beta(...+2*y3) oder?
ja stimmt
.
Weshalb stellt man hier um ?? Danke im Vorraus!!!
macht keinen unterschied, du kannst es mit - lassen aber sieht sauberer aus mit + :D
Was ist m hier ?
m steht für die Anzahl der Zeilen der Matrix. Siehe auch Folgerung 10.19 ii.
Danke dir !
Wieso ist es hier ohne Rechnung ?
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die erste Zeile alpha 1 = 0 dann alpha 1 in der zweite zeile einsetzen -> alpha 2 = 0 usw.
Vielen Dank !!
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Hat jemand die Klausur dazu, oder weiß wo ich sie finden kann?
Ich hab sie nicht, kann aber die Fragen ungefähr reproduzieren: 1a) Bestimmen Sie die Eigenwerte der Matrix und geben Sie eine Basis der Eigenvektoren an. 1b) Ist die Matrix diagonalisierbar? 2i-ii steht dran. 2iii) Bestimmen Sie die darstellende Matrix der Abbildung. 2iv steht dran. 3i) Bestimmen Sie den Rang der Matrix. 3ii) Bestimmen Sie die Lösung von A*x=b 4i) Zeigen Sie, dass es genau eine lineare Abbildung gibt mit φ:v_i -> w_i für i von 1-5. 4ii) Bestimmen Sie die Dimension von Kern und Dimension von Bild dieser Abbildung. 4iii) Prüfen Sie, ob es einen Vektor gibt, sodass φ(v)=(1,2,3,4) (steht da) 5) Steht da.
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Hey kann mir jemand die 4b erklären? Ich verstehe nicht wie ich den Vektor überprüfen soll. Wäre sehr dankbar dafür!
Hat jemand die Klausur dazu ?
Das sollte dim_K (W) heißen. Sprich die Dimension.
Ja, geanu
ist es falsch ? rg(A) soll gleich 3 sein
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Die Lösung ist von Lewintan . Rang = 2 ist richtig . Rechnung beweist es . Mit Modulo 5 berechnen !
in der aufgabe 3 beim umstellen der matrix in stufenform ist ein fehler bei der 4. matrix. statt "2*alpha-6" in der letzten zeile müsste "3*alpha-6" stehen. ansonsten ergebnis und rest richtig.