2. Testklausur 2018 Musterlösung .pdf

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2. Testklausur 2018 Musterlösung

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Wie kommt man auf 4m und 4m+1 4m+2 und so?
Ich hatte das auch schon unter einer anderen Frage angemerkt. Die Lösung hier ist ziemlich formell (ist von Herrn Lewintan). Man muss das nicht zwingend so machen. Es ist ja nur nach dem Kern von phi gefragt, d.h. du suchst alle Elemente [a] aus Z12 für die gilt, phi([a])=[0]. D.h. man könnte einfach für jedes [a] aus Z12 phi([a]) berechnen und dann schauen wo [0] raus kam. Alle diese [a] sind dann im Kern. Gleichzeitig hast du dann auch schon Bild berechnet, indem du alle Elemente nimmst die bei phi([a]) als Ergebnis raus kamen .
Bruder danke, ich küss deine Augenbrauen
Woher wiesst du hier wann du wo, was einsetzt?
Du musst eine Zahl finden, wofurch die Funktion = 0 ergibt wenn du sie einsetzt
Welche Lösung würde hier stehen wenn |U| = 3 z.b. wäre ?
Dann müsste man alle Mengen der Form {v1, vi, vj} mit 2<=i< j <=8 auf Gruppen überprüfen. Das wäre ziemlich viel Aufwand. Glaube nicht dass sowas vorkommen kann.
ok gut danke dir :)
Das mit dem Kern ist ja verständlich aber wie genau soll man auf die Bilder kommen?
einfach für jedes Element aus Z12 f(x) ausrechnen. Hier bildet phi von [a]modulo12 auf [3*a]modulo9 ab. D.h. du musst alle Elemente aus Z12 in phi einsetzen. Wenn du das für phi(0), phi(1), phi(2) gemacht hast, merkst du ab phi(3) dass sich alles wiederholt. Also phi(3) ist wieder phi(0), phi(4) ist phi(1) usw. Bild sind dann alle Elemente die bei phi(x) raus kamen.
ach vielen Dank nochmal für die heutigen Antworten
Was hast du hier genommen ? Also wie kommst du auf 1,10,2 ?
Da wurde die zweite Zeile mit 8 multipliziert, damit die 5 zu einer 1 wird. Habe ich leider vergessen aufzuschreiben.
bedeutet das hier dass alle werte eine untergruppe bilden, weil bei (v8,v8) ist ja v1 und bei allen anderen auch
Alle Mengen der Form {v1, vi} mit 2<=i<=8 bilden eine Untergruppe. Also {v1, v2}, [v1, v3},...{v1,v7},{v1,v8}
Hey, ist die Dimension hier 3, weil es in der Aufgabenstellung V = K3 heißt oder weil dim = rg von A ? Ich weiß was die Dimension aussagt, weiß gerade nur nicht wo man das abliest :D
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Morgen ist die 2. Testklausur :)
Qre warte erst ab kurz vor dem 13.2 dann geht die lineare algebra gruppe ab
Kann jemand das und iii.) schritt für schritt erklären? (wie man vorgehen muss)
ii) Soll man zeigen, dass die Abbildung phi ein Gruppenhomomorphismus ist. Dazu zeigt man, dass gilt: phi(a+b) = phi(a) + phi(b) (wobei man hier beachten muss, dass das + in phi(a+b) die Verknüpfung aus (G, +) ist und das + in phi(a) + phi(b) die Verknüpfung aus (H, +) ist. Das könnten theoretisch auch verschiedene Operationen sein) Dann muss man eigentlich nur einmal phi(a+b) berechnen und einmal phi(a) + phi(b) und da sollte dann das gleiche raus kommen (hier: 3a+3b) Bei iii.) Die Lösung ist hier sehr formell (ist ja auch die von Herrn Lewintan). Gefragt ist ja nur nach Ker(phi), also allen Elementen aus [a]12, die phi auf [0]9 abbildet. Man könnte hier auch einfach phi([a]) für jedes a aus Z12 berechnen und dann schauen wo 0 raus kommt. Dann kann man auch sofort Im(phi) also das Bild ablesen indem man alle Elemente, die als Ergebnis von phi([a]) vorkamen aufzählt.
Was hat man ab da an gemacht? Also warum genau hat man das weiter verändert?
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Die Zahlen hier sind alles Restklassen modulo 13. D.h. [-1] = [12] (bei negativen Zahlen einfach so oft 13 addieren, bis was positives raus kommt (bei modulo 13))
Ah, ja klar. Danke.
Was gibt es hier für weitere Fälle? Sprich wann wäre es zb keine abelsche gruppe?
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Differenz wäre keine Gruppe (weil nicht assoziativ). Mir fällt jetzt auch nicht wirklich etwas ein das eine Gruppe ist aber nicht kommutativ ist. Denke wenn die Aufgabe wieder so dran kommt dann wird es sich auch um eine kommutative Gruppe handeln :D
ok perfekt, dann übernehme ich die Antwort einfach
Sollte hier nicht -6 stehen wie bist du auf die 5 gekommen
Die Zahlen hier sind alles Restklassen Modulo 11. -6 wäre auch richtig aber üblicherweise benutzt man die äquivalenten positiven Repräsentanten der jeweiligen Restklassen. Also [-6]=[5]. Deswegen steht hier die 5.
woher kommt hier die 5?! aus f[a]? wie?
f([5b+3]) heißt wir setzen [5b+3] in die Funktion f ein. f ist definiert als: f([a]) = [5a+3] Also mit a=(5b+3) f([5b+3]) = [5*(5b+3)+3]. (Ich sehe gerade hier in der Lösung fehlt das +3 in deiner Markierung)
Was bedeutet das nach dem Gleich?
Id steht für die identische Abbildung. Also Id(x)=x
kann jemand bitte den Gauß einmal aufschreiben
Das ist der Gauß-Algorithmus oder was meinst du genau?
Wie kommt man eigentlich darauf, dass f bijektiv ist?
f ist surjektiv weil jedes Element aus Z6 in der Zeile unten vorkommt und f ist injektiv weil f([a])=f([b]) => [a]=[b] gilt Da injektiv + surjektiv ist f auch bijektiv
Wie kommst du hier von der 2 auf die 1?
[1] = [1] * 7. Also erste Zeile mit 7 multipliziert (vergessen es aufzuschreiben
Danke
Was muss man bei dieser Aufgabe tun? Schritt für Schritt bitte.
Wie kommt man hier auf das ergebnis?? Ist diese Rechnung komplett? Ich verstehe nicht ganz wie man hier auf die 4T+8 kommt..
Also du schaust ja welche Zahl multipliziert mit T -> 7T^3 ergibt, dann erhältst du 7T^2 als Zahl, dann rückmultipliziert mit GESAMTEN q(T) erhältst du (7T^3-7T^2) = (7T^3+4T^2) , weil (-7T^2 = 4T^2 (wegen modulo 11)), dann von p(T) die Gleichung die du durch rückmultiplizieren raus hast abziehen. Ergebnis: 4T^2+4^T+3 und damit wieder den Prozess wiederholen. So kommst du zb auf ie 4, dann auf die 3 usw.
Hoffe es hilft!
Was genau macht man hier? Wie kommen wir auf die - 12?
Die letzte Zeile des LGS lautet 0*a + 0*b + 1*c + 12*d = 0 also c + 12d = 0. Dann nach c auflösen c = -12d. Da dieses LGS nicht eindeutig lösbar ist müssen wir einer der unbekannten (c oder d) als Variable t definieren. Also sei d=t (beliebiges element aus z13). Dann c=-12t = t (da -12 = 1 modulo 13)
Wie kommen wir hier auf die 12?
Wir haben einfach die 12, die vor v1, v2 und v3 steht vor die Klammer gestellt. Wenn man das ausmultipliziert erhält man ja wieder 12*v1+12*v2+12*v3. Ist aber sicher nicht nötig das in der Klausur zu machen. Theoretisch sollte schon v4=-v1-v2-v3 als korrekte Lösnung reichen. (und -1 mod 13 ist = 12 mod 13, falls das die Frage war)
4t^6/2t^4 (mod 11) ist bei mir nicht 8.. wie kamst du darauf? Ich hätte gesagt 2t^2
5t^6/2t^4=8t^2 in der dritten Zeile. Ansonsten weiß ich nicht genau was/wo du meinst
Ach scheisse ich muss ja in die nächste Zeile gehen... Sorry Brett vorm Kopf!
Wie kommst du hier schon auf die 5?
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(5a' +3) - (5a+3) = 5a' +3 -5a -3 = 5a' -5a = 5(a'-a). Ist also eine äquivalente Umformung.
Alles klar danke
Kann man die Nullstellen nicht mit der Wertetabelle ausrechnen? Also wenn man 7T^3+8T^2+4T+3 die Zahlen der Restklasse einsetzt also 0 - 6. Ich hab da bei 1, 4 und 6 null rausbekommen. Falls es nicht so geht, könntest du ab der 1. Probe erklären wie du auf die Nullstellen gekommen bist? Vielen dank schonmal!!!
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Stell einfach eine Wertetabelle auf mit (7T^3+8T^2+4T+3)/11 -> kommt für ein eingesetztes T eine ganze Zahl -> Nullstelle (diese musst du aber stets überprüfen wie Qre sagt mit der Probe, da bsp. welche doppelt vorkommen können, dies der TR dir aber nicht aufzeigt)
Ah ok super vielen dank, ich dachte irgendwie die ganze zeit das Z7 die Restklasse war
was wird hier getan?
push
Man versucht die Abbildung zu beweisen. (Wie auch schon bei Nummer 1 b) ) Nur hier ist der Fall, dass man auch irgendwie von Modulo 12 auf Modulo 9 am Ende kommen muss. 12 | b-a ist das gleiche wie 12*k = b-a (für alle k element aus ZZ) wenn man jetzt beide seiten mit 3 multipliziert (da man [a] (mod 12) = [3a] (mod 9) beweisen will) dann erhält man 36*k = 3 * (b-a) (für alle k € ZZ) Da 36 ein Vielfaches von 9 ist, kann auch 9 Teiler von 3* (b-a) sein. Also -> 9*k = 3*(b-a) <-> 9 | 3b-3a) <-> 3a = 3b (mod 9) <-> [3a] = [3b] (mod 9). Damit ist [a]12 -> [a]9 bewiesen.
Sollte hier nicht s(-1) = 0 stehen?
-1 (=10) ist auch eine Nullstelle aber die 1 steht hier schon absichtlich. Aber da wir ja lediglich Nullstellen raten ist die Reihenfolge nicht wichtig. Wir hätten auch statt s(1) s(10) ausprobieren können. Negative Zahlen probiert man aber eigentlich nicht aus wenn man mit Restklassen rechnet sondern nur mit den positiven Repräsentanten
Könntest du einmal dein ganzen Proben erklären, oder wie du genau auf die Nullstellen kommst? Und ist dieser Weg immer möglich bei jeder Art von Aufgabe
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Man setzt in den Taschenrechner ein und wenn eine Zahl rauskommt die geteilt durch die Zahl der Restklasse Null ergibt, hat man sie. Alternativ wenn dein Taschenrechner Tabellen erzeugen kann, einfach da in p(T) von 1 bis Zahl der Restklasse einsetzen und wie o.g. teilen, dann hat man direkt alle auf einmal. Das ersetzt aber nicht die Polynomdivision, weil man p(T) ja faktorisiern soll.
alles klar danke
Kannst du das erklären?
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Ah nvm, die Untergruppen mit min. 2 Elementen.
Sind die Elemente die Einsen und weil v1 nur Nullen hat, kann es keine Untergruppe sein, oder wie? Ist das immer so? Oder nicht?
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Kann man sich das für Aufgabe 5 so merken, dass wenn alle 4 Vektoren linear abhängig sind (wie bei uns im Bsp) man beliebige 3 Vektoren als Basis nehmen kann?
Wie bist du hier genau vorgegangen? Ich kann die Zusammenhänge zwischen Gleichung, Rechnung und Ergebnis gar nicht nachvollziehen. Wie die Polynomdivision funktioniert weiß ich eigentlich, in diesem Fall komm ich aber überhaupt nicht weiter. Wäre dir dankbar, wenn du mir da weiterhelfen könntest.
Besser gesagt verstehe ich nicht wie du hier auf das Ergebnis 7T^3+8T^2+4T+3 kommst
Da p und q nur Elemente von einer Menge von Restklassen enthält (p und q sind Elemente aus Z11) und es bei Restklassen keine Division gibt, bzw. du die Repräsentanten nicht als Bruch schreiben darfst, musst du immer "anders rum" vorgehen. Du schaust welche Zahl (modulo 11) mit 2 (modulo 11) multipliziert = 3 (modulo 11) ergibt, das wäre die 7, da 2*7 = 14 = 3 (modulo 11) und dann ganz normal rückmultiplizieren wie bei der normalen Polynomdivision.
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Wie kommst du auf 3x die 2 als NS bei der Polynomdivision? Ich habe die Tabellarische Lösungsform benutz und auch 1, 2 und 10 raus, aber weiss nicht wie man darauf kommt dass die 2 dreifach vorkommt.
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Hier würde ich mit dem TR eine Wertetabelle erzeugen lassen für alle x zwischen 1 und 11 und dann schauen bei welchem x der Wert durch 11 teilbar ist (also eine Nullstelle ist)
Danke dir! Da der TR ja nur 1x die NS anzeigt, einfach nach jeder Nullstelle diese in das „neue“ s(T) einsetzen und gucken ob sie nochmal vorkommt? (damit man auf die doppelte bzw. dreifachen kommt)
Qre wie bist du bei der Aufgabe 5 vorgegangen?
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Dimension ist 3 weil die Vektoren alle 3-dimensional sind. Und v1,v2,v3 sind linear unabhängig und jeweils n linear unabhängige Vektoren bilden eine Basis wenn die Dimension = 3 ist. In der Aufgabe ist aber gefragt welche 3 Vektoren gemeinsam je eine Basis bilden. {v1, v2, v3} ist aber nur eine mögliche Basis. Anschließend zeigen wir noch dass auch {v2, v3, v4}, {v1, v3, v4} und {v1, v2, v4} eine Basis bilden.
Danke :)
Kannst du die Tabelle erklären? Blicke da gerade null durch
v1 der erste Vektor (0,0,0,0), v2=(0,0,1,1), v3=(0,1,0,1) usw. (siehe Aufgabenblatt). Das sind die Elemente aus der Menge G. Dann wie gewohnt die Verknüpfungstafel mit der Verknüpfüung + (also die Addition von Vektoren) ausfüllen. z.B. oben links V1 + V1 = (0,0,0,0)+(0,0,0,0)=(0,0,0,0)=v1 also steht im ersten Feld v1. Dann rechts daneben: v1+v2=(0,0,0,0)+(0,0,1,1)=(0,0,1,1)=v2 also steht im zweiten Feld v2. Irgendwo weiter unten: v4+v6=(0,1,1,0)+(1,0,1,0)=(1,1,0,0)=v7. Beachte: die Zahlen in den Vektoren, also 1 und 0 sind Restklassen Modulo 2, d.h. 1+1=0 Hoffe das ist verständlich
Danke dir! Willst du nicht die Übung in der Uni halten? :p
Durch welchen Schritt hat sich hier die Zeile verändert? Wurde die Zeile mit 5x sich selbst addiert?
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Hier wurde i) und ii) von Nr 5 auch in einem gemacht wenn ich das richtig verstehe?
Ja im Prinzip schon. Teil ii ist immer wenn dort steht v1=12*v2+12*v3+12*v4; v2=12*v1+12*v3+12*v4, usw.
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Qre meinst du das ist für Aufg 3 vollst. Genug und richtig so?
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aber in der Klausur kam eine solche Aufgabe nicht vor oder ?
Wenn du mit "solche Aufgabe" eine wie den 2.Fall meinst, dann nein, es kam davon keine in den Altklausuren vor. Finde aber, dass es nicht Schaden kann das auch drauf zu haben.
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Bezüglich Aufgabe 3 iii) kann man doch (da es sich hier um zwei Gruppen handelt, welche BEIDE Restklassen als Elemente haben) einfach die Tabelle für [a]12 und [3a]9 aufstellen und überprüfen, für welche [a]12 Werte, [3a]9 das neutrale Element von (H, *) ([0]9) annimmt oder?
Ja ich denke schon. Hatte es in der Klausur auch anders gemacht als hier gezeigt. Finde diesen Weg hier auch etwas umständlich :D
Hast du hier auch die Teilaufgabe ii) beantwortet, wo man den restlichen Vektor als eine Linearkombination der drei Basisvektoren darstellen sollte beantwortet?
Ja unten über "Nach 8.25 gilt" Wir haben v1, v2, v3 als Basis genommen und v4 dargestellt als v4=12*(v1+v2+v3) Bzw. ab "Nach 8.25 gilt" auch noch für die anderen 3 Fälle wenn man andere Basen wählt. Glaube man musste hier alle 4 Fälle angeben.
Alles klar habe das noch nicht alles ganz verstanden aber danke vielmals
Könntenst du erklären wie du hier vorgegangen bist?
Schau dir dafür am besten ein Video an welches die Polynomdivision erklärt. Wenn du das mit normalen reellen Zahlen verstanden hast sollte die Aufgabe hier keine Schwierigkeiten mehr bereiten. Der einzige Unterschied ist ja, dass die Koeffizienten hier Restklassen Modulo 11 sind. Also z.B. 7T^3 * 2T^4 = 14T^7 = 3T^7 (da [14]=[3] modulo 11)
Wie die Polynomdivision funktioniert ist mir bewusst, ich konnte nur nicht ganz deinen Rechenweg nachvollziehen. Habe außer Acht gelassen, dass es hier auch um Restklassen geht, vielen Dank für den Hinweis ^^
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Würde eine Tafel IMMER für die Lösung der Aufgabe 2 (i) und (ii) reichen bzw volle Punkte für beide Teilaufgaben bringen? Weißt du das zufällig Qre? Weil du sagtest ja du warst auch mal in der Testklausur Einsicht.
Wenn die Aufgabenstellung so ist wie hier dann ja. Das hier sind die Lösungswege von Herrn Lewintan
Danke dir vielmals!
Fehlt bei Nr.2 nicht noch die erste Teilaufgabe, bevor man die Verknüpfungstabelle erstellt?
Man soll ja zeigen dass es sich bei der Addition von Vektoren um eine Verknüpfung handelt. D.h. man zeigt dass für jedes u,v aus der Menge G u+v wieder in G liegt. Das geht am besten mit einer Verknüpfungstafel, die in Teil ii ja eh gefordert war. Also macht man i und ii zusammen.
Achso, das war mir nicht klar, danke
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Gibt es irgendwo die Aufgabenstellungen zu der 2. Testklausur.... ?
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Kann mir jemand den Rechenweg für 1b) inverse abb. Erklären? Wie kommt man auf das alles? Kann man nicht (ganz allgemein bei jeder Abbildung die man auf bijektiv geprüft hat) einfach so das ganze lösen?
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Im Prinzip ja aber ich würde auf jeden Fall zu den Übungen noch hingehen, hätte viele Aufgaben nicht verstanden wenn ich mir nur hier die Lösungswegen angeschaut hätte ohne die Aufgaben zuvor in den Übungen Schritt für Schritt durchgegangen zu sein. Aber sobald man die Lösungswege der einzelnen Aufgabentypen einmal verstanden hat, würde ich auch nur noch mit Altklausuren lernen.
Danke!
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Hat jemand Aufgabe 1a) ?
Was genau wird hier definiert? Ich kann nicht genau nachvollziehen warum eine Negation des Existenzquantors vorliegt.
Das ! ist keine Negation, sondern es bedeutet hier "es existiert genau ein Element". Also: Für jedes [a] existiert genau ein Element [5a+3] sodass gilt, ([a], [5a+3]) liegt in f. Was genau die Definition für eine Abbildung bzw. Funktion ist.
Woher kommt das ?
Das ist das was rechts vom = stehen sollte. Mir ist da leider der Platz ausgegangen
Kann jemand die Umformungen erklären?
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Also ist aber auch [b] = 5a + 3? Weil du f^-1([5a+3]) durch b ersetzt hast
Ist das auch in dem von dir markierten Bereich oder wo? [b] ist erstmal nur eine Variable wie zB das x in f(x) und hat für sich keinen Wert.
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Hat jemand die Aufgabenstellung?
Die ist hier in den Dokumenten. Einfach mal nach Testklausur suchen, ist direkt das erste Ergebnis.
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Könnte jemand noch die Lösung von 1a) reinstellen?