Lineare Algebra für Informatiker & Wirtschaftsinformatiker

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MAR 27
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Kurze Frage: Bei der Berechnung der Eigenwerte klammert man die Zahl aus, wo in der Zeile die meisten Nullen sind, ja? Geht das auch mit der Spalte? Quasi in einer Spalte, das ausklammern, wo die meisten Nullen vorhanden sind?
Ja funktioniert sowohl für Zeilen als auch für Spalten.
Ich kenne diesen Zwischenschritt nicht, was ist mit [1]'-[2]' gemeint dass die -10 aus der ersten Spalte 0 wird und aus der zweiten Spalte immernoch -10 bleibt? Bzw wie nennt sich dieses Prinzip, dass ich es googlen kann.
Sollten das nicht 5a+35/a+2 stehen?
Kann mir jemand ein guide zu darstellenden Matrizen geben? Das wären Aufgabe 2 ii.) und Aufgabe 4. iii.) ich weiß nicht woraus die darstellenden Matrizen zusammengesetzt werden.
Aufgabe 2 und 4 aus dem Vortermin 18/19 mein ich damit
Kann jemand bitte erklären wie wir dadrauf kommen, vorallem wo t*(5,1,0) steht?
Die 3. Zeile wird doch mit 3 multipliziert. Wie kommt man auf die Lösung die hier angegeben ist?
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ach so. Kannst du mir sagen, warum die Zeile überhaupt mit 3 multipliziert wurde?
einfach nur, um die zahlen etwas kleiner zu machen. ist also nicht notwendig
Könnte einmal jemand den Weg mit komplett zusammenfassen gehen und schicken? Ich komme irgendwie ständig auf das falsche Ergebnis ._.
müsste dim ker hier nicht =1 sein? oder versteh ich irgendwas falsch?
Jo, weiter unten steht auch Da dim ker = 1 folgt, ....#
Wie kommt ab da auf das Ergebnis ? In den Übungen wurde uns gezeigt, dass wir erst die linke Seite auf die „Einheitsmatrix“ bringen sollen und dann erst die Vektoren bestimmen können. Gibt es eine Methode, wie man das zuvor genannte umgehen kann oder hat er aus zeitlichen Gründen nur die Rechnung abgekürzt ?
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Wenn t und s Element von Z13 sind, muss man dann schon während des umformens immer den Modulo der zahlen nehmen oder muss man die Zahlen erst verrechnen und zum Schluss den Modulo nehmen, wenn man z.B. 15t - 4t irgendwo stehen hätte?
Das macht keinen Unterschied. Ich mache es lieber sofort damit die Zahlen angenehm klein bleiben.
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Aufgabe 5. Wie bekommt man x ={6,4,3,0,0} + s*{0,0,11,1,0} + t*{12,11,8,0,1}
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So kommt man auf die Antwort.
Gibt es zur Aufgabe 4 eine Playlist von Daniel Jung oder ne gute Internetseite?
Was hat es eigentlich mit dem ZZ auf sich? Also ZZ11, 13 usw.? Hab das jetzt das erste mal bei der Umformung einer Matrix gesehen.
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Ist denn Modulo zwingend notwendig hier? Könnte ich nicht einfach "normal" weiter umformen? Bzw. wann weiß ich, dass ich Modulo anwenden kann und muss?
Also man könnte theoretisch auch mit negativen Zahlen weiterrechnen und auf die Umformung mit Modulo verzichten (glaube nicht dass es Punktabzug gibt, bin mir aber nicht ganz sicher) ich finde es jedoch meistens sehr hilfreich dies zu tun, da die Zahlen dann immer angenehm klein und positiv bleiben. Was jedoch nicht geht ist dann zB anfangen zu dividieren und mit Brüchen zu rechnen. Das gibt garantiert Punktabzug (wenn nicht sogar schlimmeres).
Man hat die Matrix doch bereits auf Stufenform gebracht. Wieso wird die 2. Zeile - 4 mal die 3. Zeile genommen? Kann man die Matrix nicht dabei belassen?
Ja, der letzte Schritt ist nicht zwingend nötig.
Danke sehr
reicht der antwortsatz aus?
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👇🏻
Dankeschön
Wieso 2t? Kann man nicht einfach t schreiben? Gibt es dafür ne Grund?
Das hat man nur gemacht um bei x1 Brüche zu vermeiden. Du kannst aber auch ganz normal t nehmen.
Um inverse zu berechnen nutzt man ja entweder Elementare Zeilenumformung oder Streichungsmatrix oder? Gibt es noch etwas anderes was ich nicht beachtet hab?
eine Frage Leute und zwar darf ich irgendwelche Blätter zu Klausur nehmen um dort die Aufgaben zu lösen oder werden mir welche vor Ort zur Verfügung gestellt?
Du darfst genau drei bereits (beidseitig) beschriebene Blätter mit in die Klausur nehmen. Die Lösungen zu den Klausuraufgaben schreibst du dann auf die ausgeteilten Aufgabenblätter unter der Aufgabenstellung und ggf. der Rückseite.
Hallo zusammen eine Frage bezüglich der Streichungsmatrix mit modulo 7 Wie kommt man auf die 5 ? Danke im voraus.
Das inverse Element von 3 modulo 7 ist die Zahl, die multipliziert mit drei eins ergibt. Also 3*x=1 (mod 7). 3*5 = 15 = 1 (mod 7)
Hay Leute, ich hätte mal eine etwas umfangreichere Bitte/Frage. Gibt es zu den Aufgaben 1,3,4,5 aus dem Vortermin "Tricks", die im Vortermin nicht dabei waren, aber schon öfter in anderen Altklausuren waren? Könnte jemand vielleicht solche Tricks nennen, die vielleicht von Klausur zu Klausur unterschiedlich sind und die man sich mal angucken sollte? Ich kann die Aufgaben aus dem Vortermin,aber ich hab echte Probleme die Altklausuren durchzuschauen, weil dort sehr häufig Rechenfehler sind, die mich mit meiner Lösung noch weiter durcheinanderbringen.
Wie kommt man auf den Vektor u, bzw. wieso ist dieser Element vom Kern, wenn der Vektor nur in der Abbildung gleich Null ist?
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Danke, aber mich beschäftigt eher, wie man auf u kommt.
Ca. vier Zeilen vorher hat man bestimmt dass -2*w1-w2+w4=0 ist. D. h. der Vektor u mit phi(u) = -2*w1-w2+w4 liegt im Kern. Wenn man nun u definiert als u= -2*v1-v2+v4 erhält man für phi(u) =phi(-2*v1-v2+v4) = -2*phi(v1)-phi(v2)+phi(v4) = -2*w1-w2+w4=0. Folgt: u liegt in Kern.
kommt hier nicht lambda^2-11lambda+74 raus?
rechne nochmal !
ups habs selbst germerkt haha
kann man das so einfach die 2 zeilen gegenseitig so auf 0 zu setzen?
Nein das funktioniert nicht man kann nicht gleichzeitig die 2. plus 3. und 3. plus 2. Zeile rechnen. Nach dem ersten Schritt 3. = 3. + 4. ist die 3. Zeile eine Nullzeile. Damit bleibt im nächsten Schritt die 4. Zeile unverändert. Abgesehen davon sind auch die vorherigen Schritte höchst merkwürdig, ich würde empfehlen sich an die Standardvorgehensweise vom Gauß Algorithmus zu halten. Also erst in der 1. Spalte überall Nullen unter der ersten Zeile, dann in der zweiten Spalte überall Nullen unter der zweiten Zeile usw.
ok danke dir
Wie kommt man eigentlich darauf bzw. wie lautet die Zwischenschritte? Wieso rechnet man mit mal 11, -, 11 und 8? Wäre nett, wenn jemand die Zwischenschritte zeigen kann...
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Ja, ich hab nicht ganz darauf berücksichtigt. Danke. Aber mal andere Frage: wie kommt die 3 (2. Zeile, 2. Spalte) zu 6? Dass zweite Zeile mit erste Zeile subtrahiert wird ist klar, aber wie kommt dadurch ne 6 raus?
Wenn man, wie du richtig beschreibst, die erste Zeile von der zweiten Zeile abzieht erhält man an der Stelle (2. Zeile ,2. Spalte) 3-10=-7. Nun rechnen wir ja hier mit Restklassen Modulo 13. D.h. die beiden Restklassen [-7] und [6] sind identisch, da sie bei Division durch 13 den selben Rest lassen. -7 = -1 * 13 + 6 und 6 = 0 * 13 + 6.
Warum kann man nach dem man B2 ermittelt hat, direkt sagen, dass A regulär ist? rg(A) = rg(B1) ist ja auch =3 oder irre ich mich?
Der Rang von B1 lässt sich nicht ohne weiteres bestimmen. Die Matrix muss auf die Stufenform gebracht werden nur dann kann man den Rang der Matrix bestimmen (=Anzahl linear unabhängiger Zeilen bzw. Spalten). Da sich der Rang einer Matrix nicht durch elementare Zeilenumformungen verändert kann man von B2 auf A zurückschließen.
Danke für die ausführliche Antwort!
Wie kommt man hier auf das Ergebnis 5?
So
danke dir
Es ist wahrscheinlich nicht möglich zu bestehen wenn man jetzt erst noch anfängt zu lernen oder?
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Aber wie geht man dann am besten ans lernen?
Die Aufgabenstellungen sind bei 4 der Aufgaben gleich. Versuch eine Altklausur zu verstehen (z.B. WS 18 19), indem du dir Videos zu den Themen anschaust, und dann kannst dus auf andere Altklausuren anwenden.
Warum wird die 3. Zeile mit der 2. mal 7 addiert?
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Macht man das, weil es für die Folgeschritte Zeitspart oder wird bei Fall 2 immer so vorgegangen?
bei Fall 2 immer so
Was darf als Hilfsmittel in die Klausur mitgenommen werden? Hab was gehört von 3 handschriftlich beschriebenen Blättern... falls das wahr ist - kann ich da einfach die Lösung einer Altklausur draufkleistern?
3 Blätter je Vorder- und Rückseite - also insgesamt 6 Seiten. Ja kannst du, darfst alles draufschreiben was du willst
Wie so kann man hier eigentlich 2-Lamda ohne weiteres ausklaummern?
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Stimmt auch gerade gesehen, komplett ausgeblendet, dass man vertikal und horizontal die Matrix betrachten sollte. Danke
Es ist vielleicht noch wichtig anzumerken dass hier nicht lediglich etwas ausgeklammert wurde sondern der Entwicklungssatz von Laplace angewendet wurde. Man muss hier unbedingt auf die Vorzeichen achten. Stände das 2-lambda ein Platz weiter oben bzw. unten hätte man beim herausziehen von 2-lambda ein Minuszeichen setzen müssen also -(2-lambda).
Wie viel Wert wird bei der Korrektur auf Form gelegt? Bin relativ fit was LA angeht nur weis ich nicht ob meine Schreibweise/Lösungswege dem entsprechen was vorgegeben wurde. Könnte das problematisch werden?
Er meinte mal, solange es nachvollziehbar ist was du veranstaltet hast, ist es ok. Nur sollte man sich an die übliche Notation halten
Wie wird das hier gehandhabt, wenn man mitten in der Aufgabe einen kleinen Fehler macht, z.B. + und - vertauscht, und dann damit die ganze Aufgabe damit "richtig" weiterrechnet? Gibts dann kaum Punktabzug oder ist die ganze Aufgabe fürn Arsch?
Du wirst noch gut Punkte bekommen, Punkte werden dir zwar abgezogen, aber das hält sich mehr als in Grenzen, solange der Rest dann passt und es ersichtlich ist, dass du das Zeug verstanden hast
Was denkt ihr ist noch eine klassische Aufgabe die er dann vielleicht in den Nachtermin mit reinnimmt? Und welche Aufgabe nimmt er dann wahrscheinlich raus?
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@quatsch kopp Also so im Sinne von Übung 13 Aufgabe 56 oder was für Teilaufgaben meint ihr kommen da so dran?
ja genau, wobei bei der 56, die Inverse ja mittels elementarer Zeilenumformung ermittelt wird. Guck dir mal das Dokument an: https://www.studydrive.net/kurse/universitaet-duisburg-essen/lineare-algebra-fuer-informatiker-wirtschaftsinformatiker/zusammenfassungen/klausurvorbereitung-aufgabentypen/vorschau/591319 Das gibt dir einen guten Überblick welche, "Rechenarten" du für die verschiedenen Aufgaben beherrschen solltest
Woher kommt denn (Lambda-3) ?
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Ich muss dir echt mal danken Qre Fpunxny, lese in dem Modul viel mit und sehe dich fast unter jeder Frage eine super Antwort schreiben.
Auch von mir ein großes Lob, Qre.. Danke, dass du da bist und so weit es geht, jedem versuchst zu helfen. :-D
Beim Rang der Matrix, muss man immer nur die 2. Zeile 2. Spalte und die 3. Zeile 3. Spalte = 0 setzen, um Werte für Lambda zu berechnen, und der dritte Fall ist immer ungleich diese zwei Zahlen?
Kann man die Eigenwerte berechnen Aufgabe immer mit dem Laplaceschen Entwicklungssatz lösen, also reicht es, wenn ich nur diesen draufhabe? Habe mir der Regel von Sarrus mega Vorzeichenprobleme
Ja kann man. Sarrus funktioniert sowieso nur für 3x3 Matrizen d. h. sollte eine 4x4 Matrix dran kommen brauchst du sowieso Laplace.
Aufgabe 4 iii.) Wie kommt die darstellende Matrix da zustande? Ich finde die Verbindung nicht wirklich
Wie muss man bei der Aufgabe, wo man eine Matrix (idR. 3x3) gegeben hat und die Eigenwerte bestimmen soll, vorgehen, wenn es eine 4x4 Matrix ist, wie es z.B. im VT 2017/18 war?
Es wird normalerweise eine Zeile/Spalte gegeben wo 3 Nullen stehen plus ein Zahl, nimmst du dann die Zahl raus, wird es wie eine 3X3 Matrix .
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Aufgabe 4.) ii.) Zu Beginn: Könnte mir jemand erläutern wie man zu dem Entschluss kommt, dass nur w1-w3 linear unabhängig sind?
Es sind nicht nur w1, w2, w3 linear unabhängig, w1, w3, w4 sind auch linear unabhängig z.B. Jede kombination von 3 Vektoren in der w3 vorkommt ist linear unabhängig. w1, w2, w3 wurden gewählt, weil sie bereits nach der Umformung nebeneinander waren, wie du an der gestrichelten Linie sehen kannst. Eine Kombination ohne w3 ist nicht möglich, da du sonst eine Nullzeile hast. Für w1, w2, w4 würde das bedeuten, dass 2*w1 + w2 -w4 = 0
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Kann einer die Umformung bei Aufgabe 3 dritter Fall ausführlich aufschreiben?
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Hier
Vielen Dank
Wie kommt man eigentlich darauf, dass man die Probe mit 3 machen soll? Das ist doch nicht wirklich einfach ausprobieren oder?
Doch genau so funktioniert es. Für ganzrationale Funktionennvom Grad 3 und höher gibt es soweit ich weiß in der Regel keine einfache Formel um die Nullstellen zu berechnen (also zb sowas wie die pq Formel). Bei solchen Aufgaben sind die Nullstellen meistens im Bereich -3 bis +3. Wenn dein Taschenrechner Wertetabellen berechnen kann würde ich einfach alle Werte von -3 bis +3 ausgeben lassen und gucken wo eine Nullstelle ist und dann mit Polynomdivision weiter machen.
Hallo, ein nicht alphanumerischer Taschenrechner ist doch erlaubt oder? Herr Lewintan sagt ja immer wir sollen Polynomdivision machen um die Nullstellen rauszufinden bei kubischen Polynomen, aber bis Grad 3 kann mein Casio fx-991.
Glaube solange er nicht programmierbar ist ist er erlaubt. Um die Polynomdivision kommt man aber eh nicht wirklich herum da ja Nullstellen mehrfach vorkommen können und davon ist ja unter anderem dann abhängig ob eine Matrix zb diagonalisierbar ist.
Solange der Konstante Teil Ganzzahlig ist, ist das ja nicht so schwer abzuschätzen welche Nullstelle vielfach ist.
Gibts auf Youtube ein Video, welches die 3b) erklärt? Bzw. kann mir hier jemand kurz und einfach erklären wie hier was gemacht wird?
Die Aufgabe ähnelt Aufgabe 56 aus den Übungen. Der Weg ist derselbe.
Irgendwie check ich diese Stelle nicht. Kann jemand eventuell kurz für dumme erklären was hier gemacht wird ? Wie kommt man darauf?
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Kannst du mir eben sagen, woher die 27 alpha - 54 kommen unten bei Fall 3?
Kommt aus dem vorherigen Schritt 27 * (alpha -2) damit die beiden Brüche den gleichen Nenner haben.
Ich konnte heute leider nicht an der Vorbereitung zum NT teilnehmen.. Wenn jemand so lieb ist und seine Notizen von heute hochladen würde, wäre das super lieb ☺️
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Ist hochgeladen, Datei heisst WS1819 VT Loesung, sind die VT Klausur durchgegangen und haben sie gelöst. Die Aufgabenstellungen findest du in einem anderen Dokument im Downloadbereich Viel Glück bei der Klausur :)
Tausend Dank! Das hilft wirklich sehr! ☺️
Hat jemand die komplette Lösung dieser Aufgabe?
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okay danke dir
Hab die komplette Lösung zur Klausur hochgeladen, wurde ja gestern bei der Vorbereitung zum NT bearbeitet.
Kann mir jemand sagen, mit welchem Verfahren die Matrix hier invertiert wurde?
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vllt hilft dir das?
Woher kommt dieser Teil?
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Dann wird das wohl darauf hinauslaufen, dass ich es einfach stumpf auswendig lerne. Muss ja nicht jedes Thema verstehen :D Nochmals vielen Dank für deine Mühe. Habs nun einigermaßen verstanden :)
Keine Sorge hier steckt wirklich nicht viel mehr dahinter als bloß eine andere (mathematischere?) Schreibweise des Gauß-Algorithmus. Vielleicht hilft es die Beispiele im Skript 12.13 einmal in Ruhe anzuschauen oder nachzurechnen. Dort wird eigentlich ziemlich gut deutlich was die einzelnen Matrizen genau machen.
Hat jemand einen Tipp für gute NachhilfelehrerInnen in LinA?
Was genau wird hier gemacht? Bin im Internet leider nicht fündig geworden.
Man löst das LGS und klammert dann die Variable aus.
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