Lineare Algebra für Informatiker & Wirtschaftsinformatiker

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FEB 13
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Kann jemand erklären was hier gemacht wird und woher die Zahlen kommen?
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Das sind die Werte die man in die Elementar Matrizen einsetzet
Und woher kommen diese Werte?
Was bedeutet das mit der alg. und geometr. Vielfachheit um zu zeigen, dass eine Matrix diagonalisierbar ist? Kann einer auch ein Beispiel geben wie eine mögliche Lösung wär?
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Also dimV(Lambda1, PhiA)+dimV(Lambda2, PhiA)+.... muss = n sein (n = anzahl der variablen bzw spalten in der Matrix)?
nein, die Anzahl der Eigenvektoren muss gleich der Anzahl der Lambdas sein, mit n hat das nichts zu tun
Kann jemand die Aufgaben mit Elementarmatrizen erklären? Bzw. links zu videos schicken? Ich finde dazu irgendwie nichts was unseren Aufgaben ähnelt, gibt es vielleicht eine andere Bezeichnung dafür?
Hat jemand die Lösung zur 2. Testklausur aus diesem Semester? Ich komme hier und da mit den Begriffen durcheinander.
Eine Frage Bitte , wann ist der Matrix diagonalisierbar ist und wann nicht ..? Danke im vorauß 🌹❤
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@Yelle "Bzw. wenn die Vektoren der Matrix linear unabhängig sind und gemeinsam die Basis der betrachteten Dimension bilden." meinst du damit die Eigenvektoren der Matrix oder welche meinst du genau?
Ja, die Eigenvektoren V1-Vn. Diese sind linear unabhängig und bilden eine Basis von R?, damit ist A diagonalisierbar.
ich hab das als alt klausur gefunden. Ist das ok? oder sollte man diese Klausur nicht üben?
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geht i.O. sind ja quasi die gleichen Aufgabentypen. vermutlich auch von lewinthan
Alles klar. Danke für die Antworten!
Frage zu diesem Elementarmatrizen-zeug: kann man sich das sparen wenn zb. nach der regularität gefragt ist? (Durch Determinantenbrechenung) Und wie wahrscheinlich ist es, dass eine Aufgabe mit elementarmatrizen kommt, wo explizit verlangt wird elementarmatrizen zu rechnen?
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Herr lewintan hat gesagt, dass wenn lan die Aufgabe nicht mit Elementarmatrizen löst, man höchstens 1punlt bekommt
Ehrlich jetzt? Auch Teil 1 und 3 der Aufgabe? 😅
Was soll das Zeichen in dem Zusammenhang bedeuten? Und ist die Aufgabe klausurrelevant?
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Qre erklärt das in seiner Antwort
sry, nicht aktualisiert. Danke perfekt 👍
Wie kommt man auf das n=3? Warum ist es nicht lösbar ??
n ist die Anzahl der Variablen (Spalten). Das LGS ist schon lösbar, nur eben nicht eindeutig. Das ist ein Satz aus dem Skript (10.20) das LGS ist eindeutig lösbar genau dann wenn rg(A)=n gilt.
Kann mir das einer erklären?
Hey wie berechnet man hier die Modulos
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Modulo erkennst du am doppelten Z mit einer Zahl
Das ist der b-Vektor nach dem Strich, man sucht auch die Lösungen des linearen Gleichungssystems (in Abhängigkeit von lambda)
Freitags ist die Übung von 10-14, ne? Und wie voll ist die so?
Ja genau von 10-14Uhr und da sind so 5 bis 9 Leute.
letztens war das echt fast leer, also wirklich max 6 leute. War wie ein Date mit Chameur Lewintan
Welches Übungsblatt wird morgen behandelt und wann findet sie nochmal statt?
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14 bis 18? Das ist ja traumhaft 😄 Danke fürs nochmal nachgucken, wo steht das eigentlich?
In lsf
hallo leute Wollte fragen ob der NT für mathe bekannt ist und ob er schwieriger ist Wenn wir schon dabei sind sind 16 tage denn ausreichend um in die klausur zu gehen? :D
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Warum 16 Tage? Bis zum Vt ist doch fast noch 1 Monat Zeit
ich hatte die information erhalten dass die klausur am 2.2 ist. daher die 15-16 tage, aber ich hab nochmal nachgeguckt und die klausur ist wohl am 13.2!:D Danke dafür!
Bitte eine Frage , wann ist die Abbildung linear ist und wann nicht und wann ist die Injektiv und wann Surjektiv ? Danke im voraus ❤🌹
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und kann ich einfach sagen , wenn Der Rang nicht gleich M und N ist , dann nicht Surjektiv und nicht injektiv ? umd M hier ist der Zeile von Matrix ?
Wenn man von der Abbildung X->Y ausgeht ist es eigentlich genau umgekehrt also injektiv = zu jedem y gibt es höchstens ein x und surjektiv = zu jedem y gibt es mindestens ein x. Für jede Abbildung bzw. Funktion gilt ja eh immer dass es für jedes x genau ein y gibt.
kann jeman mir erklären , warum ist hier ohne Rechnung ? Danke im voraus 🌹❤
Aus der ersten Zeile geht eindeutig hervor, dass a1=0 sein muss. Daraus folgt in Zeile 2 und 3 dass auch a2=0 uns a3=0 sein muss. Daraus folgt in Zeile 4 dass auch a4=0 sein muss und dann folgt in Zeile 5 dass a5=0 sein muss.
Ist die Klausur im NT deutlich schwieriger als die zum VT?
wer macht morgen die übung?? hr. lewintan oder die frau von ihm
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Mittwochs macht doch Herr Lewintan die Übung
ahh stimmt Sie macht mittwochs parallel Stochastik... hab die Kurse vertauscht.
Ich habe noch keine Mathe Prüfung im Studiengang geschrieben und sehe ja, dass Herr Lewintan immer fast 1:1 gleiche Testklausuren wie in den vergangenen Jahren schreibt. Gilt das auch für die normalen Prüfungen zum VT? Lernt ihr da auch NUR mit den Altklausuren?
Ja
Kann jemand erklären, was man hier machen muss? Wie kommt man darauf das v2 eine Linearkombination der anderen Vektoren ist?
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Linear unabhängig heißt auch, dass man keinen der Vektoren als eine Linearkombination der restlichen schreiben kann. Heißt, man kann w1, w2 und bspw. v1 nehmen, miteinander addieren, drehen etc wie man will, man wird nie v4 als Ergebnis bekommen ( ist auch klar, aus Nullen kann man nie eine 1 bekommen)
Aber warum ist sind zb v1 und v2 nicht linear unabhängig? Bei v2 ist ja auch die erste zeile eine 0, wo alle anderen eine andere zahl haben.
Die Rechenwege machen irgendwie keinen Sinn für mich!?
Dann schau dir mal auf YT an wie man Matrizen in die Dreiecksform (Gaußform) bringt.
Warum muss man das hier mit negativen Zahlen aufschreiben? Also -T statt 6T und -6 statt 1?
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Letztendlich schreibt man positive Zahlen in negative um, dann kann man die Nullstellen leicht ablesen.
Danke :)
Was genau ist damit gemeint? [0]12 ist doch auch in der Menge von Ker(phi) (s.o.). Warum ist das jetzt ungleich und damit nicht injektiv?
Ker sollte nur aus [0]12 bestehen, damit Phi injektiv ist.
Danke :)
wie erkenne ich ob eine Matrix diagonalisierbar ist
Wenn die geometrische gleich der algebraischen Vielfachheit ist. Bzw. wenn die Vektoren der Matrix linear unabhängig sind und gemeinsam die Basis der betrachteten Dimension bilden.
darf man kreuzprodukt benutzen um zu vereinfachen
Wo würde es Dir helfen?
Eigenvektor
kann jemand mir bitte sagen, wie wir auf 5 ganz recht unten gekommen sind??
9*5 = 45 modulo 11 ist rest gleich 1
Um 1/9 in den Z11 zu bekommen, fragen wir uns mit was wir den Nenner (9) multiplizieren müssen um auf den Zähler(1) zu kommen. Wir Lösen also auf: x*9=1 -> x=5, das kann man einfach aus der Restklassentabelle ablesen. Das Vorgehen funktioniert bei allen Brüchen um sie in den passenden Zahlenraum zu bringen.
Ist es notwendig diesen Schritt nochmal aufzuschreiben? Wir haben genau das schon dadrüber stehen
vermutlich reicht es einmal
Steht m für die Zeilenanzahl und n für die Spaltenanzahl der Anfangsmatrix?
ja
Kommt Polynomdivison in der Klausur in irgendeiner Form vor?
Ja Aufgabe 1 muss du das verwenden
Ok gut, vielen Dank
Hier muss man die zweite zeile überall mit der dritten vertauschen, oder?
ja
Wie ist die 4x4 Matrix plötzlich zu dieser 3x3 matrix geworden? Und wenn -1-lambda ausgeklammert wird, warum steht es dann doch wieder in der ersten Zeile?
Laplace'sche Entwicklungssatz, du streichst alle Einträge in Zeile und Spalte von (-1-L), lässt nur stehen was übrig bleibt und multiplizierst den Eintrag vorne vor.
Wie geht die Aufgabenstellung weiter ?
... von Phi bezüglich der Standardbasis von K3 ist.
Wie lese ich das ab?
Die Anzahl der Zeilen die nicht 0 sind.
Dürfen wir auch wieder einen Taschenrechner mitnehmen morgen?
Ja, wenn er nicht programmierbar ist.
Ich habe leider grad garkeine Möglichkeit die Vorlagen auszudrucken. Ist es sehr schlimm?
Wie kommt man auf 4m und 4m+1 4m+2 und so?
Ich hatte das auch schon unter einer anderen Frage angemerkt. Die Lösung hier ist ziemlich formell (ist von Herrn Lewintan). Man muss das nicht zwingend so machen. Es ist ja nur nach dem Kern von phi gefragt, d.h. du suchst alle Elemente [a] aus Z12 für die gilt, phi([a])=[0]. D.h. man könnte einfach für jedes [a] aus Z12 phi([a]) berechnen und dann schauen wo [0] raus kam. Alle diese [a] sind dann im Kern. Gleichzeitig hast du dann auch schon Bild berechnet, indem du alle Elemente nimmst die bei phi([a]) als Ergebnis raus kamen .
Bruder danke, ich küss deine Augenbrauen
Woher wiesst du hier wann du wo, was einsetzt?
Du musst eine Zahl finden, wofurch die Funktion = 0 ergibt wenn du sie einsetzt
Welche Lösung würde hier stehen wenn |U| = 3 z.b. wäre ?
Dann müsste man alle Mengen der Form {v1, vi, vj} mit 2<=i< j <=8 auf Gruppen überprüfen. Das wäre ziemlich viel Aufwand. Glaube nicht dass sowas vorkommen kann.
ok gut danke dir :)
Das mit dem Kern ist ja verständlich aber wie genau soll man auf die Bilder kommen?
einfach für jedes Element aus Z12 f(x) ausrechnen. Hier bildet phi von [a]modulo12 auf [3*a]modulo9 ab. D.h. du musst alle Elemente aus Z12 in phi einsetzen. Wenn du das für phi(0), phi(1), phi(2) gemacht hast, merkst du ab phi(3) dass sich alles wiederholt. Also phi(3) ist wieder phi(0), phi(4) ist phi(1) usw. Bild sind dann alle Elemente die bei phi(x) raus kamen.
ach vielen Dank nochmal für die heutigen Antworten
Meint ihr das ist sehr schlimm, wenn man keinen Tacker hat? Bzw. wenn man diese Blätter nicht ausdruckt?
Gibt auf jeden Fall nen kleinen Anschiss, vor allem wenn man die Blätter nicht ausdruckt. Bis jetzt wurde aber glaube ich noch nie jemand deswegen nach Hause geschickt
Blätter habe ich jetzt, aber ich habe leider echt keinen Tacker fällt mir gerade auf 😅
Was hast du hier genommen ? Also wie kommst du auf 1,10,2 ?
Da wurde die zweite Zeile mit 8 multipliziert, damit die 5 zu einer 1 wird. Habe ich leider vergessen aufzuschreiben.
bedeutet das hier dass alle werte eine untergruppe bilden, weil bei (v8,v8) ist ja v1 und bei allen anderen auch
Alle Mengen der Form {v1, vi} mit 2<=i<=8 bilden eine Untergruppe. Also {v1, v2}, [v1, v3},...{v1,v7},{v1,v8}
Hey, ist die Dimension hier 3, weil es in der Aufgabenstellung V = K3 heißt oder weil dim = rg von A ? Ich weiß was die Dimension aussagt, weiß gerade nur nicht wo man das abliest :D
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Morgen ist die 2. Testklausur :)
Qre warte erst ab kurz vor dem 13.2 dann geht die lineare algebra gruppe ab
Kann jemand das und iii.) schritt für schritt erklären? (wie man vorgehen muss)
ii) Soll man zeigen, dass die Abbildung phi ein Gruppenhomomorphismus ist. Dazu zeigt man, dass gilt: phi(a+b) = phi(a) + phi(b) (wobei man hier beachten muss, dass das + in phi(a+b) die Verknüpfung aus (G, +) ist und das + in phi(a) + phi(b) die Verknüpfung aus (H, +) ist. Das könnten theoretisch auch verschiedene Operationen sein) Dann muss man eigentlich nur einmal phi(a+b) berechnen und einmal phi(a) + phi(b) und da sollte dann das gleiche raus kommen (hier: 3a+3b) Bei iii.) Die Lösung ist hier sehr formell (ist ja auch die von Herrn Lewintan). Gefragt ist ja nur nach Ker(phi), also allen Elementen aus [a]12, die phi auf [0]9 abbildet. Man könnte hier auch einfach phi([a]) für jedes a aus Z12 berechnen und dann schauen wo 0 raus kommt. Dann kann man auch sofort Im(phi) also das Bild ablesen indem man alle Elemente, die als Ergebnis von phi([a]) vorkamen aufzählt.
Was hat man ab da an gemacht? Also warum genau hat man das weiter verändert?
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Die Zahlen hier sind alles Restklassen modulo 13. D.h. [-1] = [12] (bei negativen Zahlen einfach so oft 13 addieren, bis was positives raus kommt (bei modulo 13))
Ah, ja klar. Danke.
Was gibt es hier für weitere Fälle? Sprich wann wäre es zb keine abelsche gruppe?
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Differenz wäre keine Gruppe (weil nicht assoziativ). Mir fällt jetzt auch nicht wirklich etwas ein das eine Gruppe ist aber nicht kommutativ ist. Denke wenn die Aufgabe wieder so dran kommt dann wird es sich auch um eine kommutative Gruppe handeln :D
ok perfekt, dann übernehme ich die Antwort einfach
Sollte hier nicht -6 stehen wie bist du auf die 5 gekommen
Die Zahlen hier sind alles Restklassen Modulo 11. -6 wäre auch richtig aber üblicherweise benutzt man die äquivalenten positiven Repräsentanten der jeweiligen Restklassen. Also [-6]=[5]. Deswegen steht hier die 5.
woher kommt hier die 5?! aus f[a]? wie?
f([5b+3]) heißt wir setzen [5b+3] in die Funktion f ein. f ist definiert als: f([a]) = [5a+3] Also mit a=(5b+3) f([5b+3]) = [5*(5b+3)+3]. (Ich sehe gerade hier in der Lösung fehlt das +3 in deiner Markierung)
Schreiben morgen alle ab 10 uhr? Und wieder in der PC Hall?
Ja, alle ab 10 Uhr und im SH601, also da, wo die Vorlesung stattfindet.
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